数学形态学(Mathematical morphology) 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科,是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括:腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。
在二值形态学中,一个图案被看做是
维欧几里得空间
或网格
的子集。
在二值结构学中,结构元素为一个二值影像,作为分析影像时使用的“探针”,代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。[1]
以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B):
- 待处理影像为二维类比影像
,使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。
- 待处理影像为二维类比影像
,使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。
- 待处理影像为二维类比影像
,使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形,或写作
。
二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀,以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。
膨胀(Dilation)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件?”一个影像A经过结构元素B膨胀后的结果可写为:[1]
.
其中
,代表结构元素平移x后的点集合,b是图像B的元素的坐标。
另外也可写为:
.
同上,其中
是指二值影像A经过平移-b后新的点集合。
腐蚀(Erosion)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件?”一个影像A经过结构元素B腐蚀后的结果可写为:[1]
.
开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合:
开运算为先腐蚀再膨胀,
.
闭运算为先膨胀再腐蚀
.
- 所有的运算子具有平移对称性
- 所有的运算子都是递增的,例:如果
,则
且 
- 膨胀具有交换律,例:

- 膨胀具有结合律,例:
;另外腐蚀则为 
- 如果B包含原点(0,0),则有

- 膨胀与腐蚀间的关系为:
,上标
代表补集,上标
代表对原点的点对称集合。
- 开运算与闭运算间的关系为:

- 膨胀对联集有分配律,例:
;腐蚀对交集有分配律,例:
- 膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算:
若且为若 
- 开运算与闭运算是幂等的:

数学形态学诞生于1964年,由当时国立巴黎高等矿业学校的马瑟荣(G. Matheron)和赛拉(J. Serra)两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立,巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。
20世纪数学形态学的发展过程可大致分为:
- 60年代的孕育和形成期
- 70年代的充实和发展期
- 80年代的成熟和对外开放期
- 90年代至今的扩展期
- ^ 1.0 1.1 1.2 Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)