收敛半径 是数学分析 中与幂级数 有关的概念。一个幂级数 的收敛半径 是一个非负的扩展实数 （包括无穷大 ）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数 一致收敛 ，并且幂级数 就是此函数展开得到的泰勒级数 。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。
定义幂级数f 为：
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
,
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},}
a 是收敛圆盘 的中心，c n n 个复 系数，z 为变量。
收敛半径 r 是一个非负的实数或无穷大（
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
|
z
−
a
|
<
r
{\displaystyle |z-a|<r}
|
z
−
a
|
>
r
{\displaystyle |z-a|>r}
具体来说，当z 和a 足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a | = r 的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些z 可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z 都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
根据达朗贝尔审敛法 ，收敛半径
R
{\displaystyle R}
∑
c
n
z
n
{\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}
lim
n
→
∞
|
c
n
+
1
c
n
|
=
ρ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\vert {c_{n+1} \over c_{n}}\right\vert =\rho }
ρ
≠
0
{\displaystyle \rho \neq 0}
R
=
1
ρ
{\displaystyle R={1 \over \rho }}
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
R
=
+
∞
{\displaystyle R=+\infty }
ρ
=
+
∞
{\displaystyle \rho =+\infty }
R
=
0
{\displaystyle R=0}
根据根值审敛法 ，则有柯西-阿达马公式 ：
R
=
lim inf
n
→
∞
|
c
n
|
−
1
n
{\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}
或者
1
R
=
lim sup
n
→
∞
|
c
n
|
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数 。收敛半径可以被如下定理刻画：
一个中心为a 的幂级数f 的收敛半径R 等于a 与离a 最近的幂级数无定义点的距离。到a 的距离严格小于R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘 。 最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数
f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}
没有复根。它在零处的泰勒展开为：
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}}
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数：
arctan
(
z
)
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
.
{\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}
运用审敛法可以知道收敛半径为1。
考虑如下幂级数展开：
z
e
z
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
z
n
{\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}
其中有理数B n 伯努利数 。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当z =0时，函数没有奇性，因为是可去奇点 。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得
e
z
−
1
=
0
{\displaystyle e^{z}-1=0}
的复数z 。设z = x + iy ，那么
e
z
=
e
x
e
i
y
=
e
x
(
cos
(
y
)
+
i
sin
(
y
)
)
,
{\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,}
要使之等于1，则虚部必须为零。于是有
y
=
k
π
{\displaystyle y=k\pi }
k
∈
Z
,
k
≠
0
{\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
k
{\displaystyle k}
z 为
2
k
π
i
{\displaystyle 2k\pi i}
k
∈
Z
,
k
≠
0
{\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0}
离原点最近距离为
2
π
{\displaystyle 2\pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
如果幂级数在a 附近可展，并且收敛半径为r ，那么所有满足 |z − a | = r 的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆 。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛 。
z ) = (1 − z )−1 在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。
例2:函数g (z ) = ln(1 − z )在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在z = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(z )是 -g (z )的复导数 。
例3:幂级数
∑
n
=
1
∞
1
n
2
z
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}
的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h (z )是这个级数对应的函数，那么h (z )是例2中的g (z )除以z 后的导数。h (z )是双对数 函数。
例4:幂级数
P
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
⋅
n
(
z
2
n
−
1
+
⋯
+
z
2
n
−
1
)
{\displaystyle P(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}\cdot n}}(z^{2^{n-1}}+\cdots +z^{2^{n}-1})}
的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛 ，但是并不在收敛圆上绝对收敛[ 1]
将下列函数在x = 0处展开：
f
(
x
)
=
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
∀
x
{\displaystyle f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ \forall x}
可以看到收敛半径为
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
x = 1时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于ƒ(10)，需要18项，对于ƒ(100)则需要141项。
文中提及的曲线的图例：红、蓝线为逼近线，白圈为收敛圆。 可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。
考虑亚纯函数
f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}
模长 二元函数图像见右。函数在
z
=
±
i
{\displaystyle z=\pm i}
极点 。
由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在z = 0处的泰勒级数 收敛当且仅当
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数 的收敛度规 ，也就是使得级数
∑
n
=
1
∞
a
n
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}}
s ，其只依赖于数列a n
^ Sierpiński, Wacław , O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka 29 , 1918, 29 : 263–266
Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6 Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8 幂级数 . [2008-09-10 ] . （原始内容 存档于2008-11-21）. 毕节学院复变函数教程 . [2008-09-10 ] . [永久失效链接 
