恩布里-特雷费森常数

在数论中，恩布里-特雷费森常数（Embree-Trefethen constant）是一个和随机费波那西数列有关的阈值，符号为 $\beta ^{*}$ ，其近似值为0.70258（OEIS数列A118288）。

针对一固定的正数 $\beta$ ，考虑以下的递回关系式

x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,

递回关系式中的正负号部分是随机决定，相加及相减的几率各是一半。

可证明对于任何的 $\beta$ ，以下极限

\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,

几乎必然存在。也就是说，数列表现类似指数的几率为1。

可得以下的式子

在

0<\beta <\beta ^{*}=0.70258

（近似值）时，

\sigma <1

,

因此当 $n\rightarrow \infty$ 时，数列以指数形式递减的几率为1

在

\beta >\beta ^{*}

时，

\sigma >1

,

因此数列以指数形式成长

有关 $\sigma$ 的数值，可得：

参考资料

Embree, M.; Trefethen, L. N., Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society, 1999, 455 (455): 2471–2485, doi:10.1098/rspa.1999.0412 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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