在几何学中,开世定理是欧几里得几何学中的一个定理,可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。

开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为
的一个圆
,圆内又有四个圆
内切于圆
(如右图)。如果将圆
的外公切线的长度设为
,那么开世定理声称,有下列等式成立。

可以注意到,如果四个内切的圆都退化成点的话,就会变成圆
上的四个点,而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。
设大圆的圆心是点
;四个圆的圆心分别是点
,半径分别是
。每个圆与大圆
的切点分别是
。
首先,根据勾股定理可以推出:对于任意的i 和j,都有

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用
来表示。
考虑三角形
,根据三角形的余弦定理:

由于每个圆
都和大圆相切,所以:

设点
为大圆
上的任意一点,根据三角形的正弦定理,在三角形
之中,有:

所以,余弦式

将以上
与
代入式子
中,就可以得到:




再代入式子
中,就得到
的表达式:

以上等式对所有的i 和j 都成立,因此只要注意到四边形
是圆内接四边形,那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理:


证明完毕。
可以用类似的方法证明,只要当圆
与大圆
相切(不论是外切还是内切),就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明,对任意的i 和j:
- 如果圆
是与大圆
以同样的方式相切(都是外切或者都是内切)的话,则
表示两个圆的外公切线的长度;
- 如果圆
是与大圆
以不同的方式相切(一个是外切而另一个是内切)的话,则
表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是:这定理的逆定理也成立。也就是说,如果开世定理的等式成立,那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。[1]
在欧几里得几何学中,开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。
- ^ Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125