库拉托夫斯基闭包公理可来定义一个集上的拓扑结构,它和以开集作定义拓朴结构的公理等价。
拓朴空间
是集合
及作用在
的幂集上的闭包算子
。
闭包算子需符合以下条件:
![{\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} (A)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a0f0f5af9a3c1958f069ce8362efbd83b0af06)
(等幂性)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711448327eabf94d7e79551a59e8c3910c944852)
![{\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97de7fa19e610136d73794c958d8b5da577acef0)
如果不要求第二个公理即幂等公理,则剩下的公理定义了预闭包算子。
从由闭包算子定义的拓扑空间开始。A 称为在
是闭合的,若
。亦即,X 的闭集是闭包算子的不动点。
若称“开集”为其补集为闭集的集合,则所有开集会形成一个拓扑,证明如下:
- 由公理4.可知
为闭集;由公理1.及闭包算子的闭合性可知X 为闭集。因此,X 及
(分别为
及X 的补集)为开集。
- 令X 的子集
(其中
为任意集合)皆为开集,由公理1.及闭集的定义可知
为开集。
- 令X 的子集A 及B 为开集,由公理3.可知
为开集。
相反地,由开集定义的拓扑也可推导至由闭包算子定义的拓扑空间。令外,也可得出下列等价的定义:
两个拓扑空间之间的函数
![{\displaystyle f:(X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8a7df708e8a2744957dfe952f60983dce3ec59)
称为连续的,若对所有X 的子集A',
![{\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subset \operatorname {cl} '(f(A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7184726e720cb85e55ce8e6ead02881923932610)
一个点称之为在
内是接近A 的,若
。