对角论证法

对角论证法是乔治·康托尔于1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明。

对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证明，而是发表在他第一个证明的三年后。他的第一个证明既未用到十进制展开也未用到任何其它数系。自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证明中都用到了类似的证明构造方法，它们一般亦称为对角论证法。

实数

康托尔的证明表明区间[0, 1]不是可数无穷大。该证明是用反证法完成的，步骤如下：

1. 假设区间[0, 1]是可数无穷大的，已知此区间中的每个数字都能以小数形式表达。
2. 我们把区间中所有的数字排成数列（这些数字不需按序排列；事实上，有些可数集，例如有理数也不能按照数字的大小把它们全数排序，但单只是成数列就没有问题的）。对于那些有两种小数形式的数字，例如0.499 ... = 0.500 ...，我们选择前者。
3. 举例，如果该数列小数形式表现如下：

   r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

   r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

   r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

   r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

   r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

   r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

   r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

   ...

4. 考虑$r_{k}$小数点后的第k个位，我们给这些数字加上底线与粗体。从这里可以看出“对角论证法”名称的由来。

   r₁ = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...

   r₂ = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

   r₃ = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...

   r₄ = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...

   r₅ = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...

   r₆ = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...

   r₇ = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

   ...

5. 我们设一实数$x\in [0,1]$，其中$x$的第k个小数位为$r_{k}$的第$k$个小数位加2之后的个位数值。(例如说，r1的第1个小数位加2便是7）
6. 明显地$x$是一个在区间[0, 1]内的实数，以之前的数列为例，则相对应的$x$应为 0 . 7 3 6 2 4 5 7 ...。
7. 由于$x$的特殊定义，$x$和$r_{n}$会在第$n$个小数位不同。这使得序列$(r_{1},r_{2},r_{3},...)$之中所有的实数俱不能与$x$完全相等，即$x$不在序列$(r_{1},r_{2},r_{3},...)$中。
8. 但我们假设$(r_{1},r_{2},r_{3},\ldots )$包括了所有区间[0, 1]内的实数，即应该要存在一个$r_{n}=x$。这发生了矛盾。
9. 所以在第一点内所提出的假设“区间[0, 1]是可数无穷大的”不成立，证毕。

外部链接

• Original German text of the 1891 proof, with English translation
• A variation on Cantor's diagonal proof, completely formalized from first principles （页面存档备份，存于互联网档案馆）