在数学中,容度是位势论里描述一个集合大小的概念。
一如测度之于测度论,容度在某种意义下描述一个集合的大小。容度出现在许多数学领域中,特别是逼近理论或复分析。它的起源则与静电学中电容的概念有关。
对于
上一个有限且带紧支集的博雷尔测度 μ ,可以抽象地定义相应的位势函数:

这里的 μ 在物理上可以想像成一个
维世界里的电荷分布——至少在
时吻合静电学。μ 的能量则抽象地定义为位势的总和:

当 n=2 时,两个定义中的
都改取
设
为紧集,其容度定义作

- 其中的下确界取遍支集在
上的所有博雷尔几率测度 μ。
在一个黎曼曲面 M 上给定一点
。若存在一个以
为极点的格林函数,则它在
点的一个够小开邻域 Ω 上有唯一表法

其中
是
上的调和函数。
此时
决定
的容度。这些量能用来分类黎曼曲面。根据
的曲率,可以用双曲距离或球面距离取代上述定义中的欧氏距离
,由此可得到双曲容量与球面容度(或称椭圆容度)。
- E.D. Solomentsev, Capacity, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- E.D. Solomentsev, Robin constant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.