古埃及分数

古埃及的分数是不同的单位分数的和，就是分子为1，分母为各不相同的正整数。任何正有理数都能表达成这一个形式。

构造

古埃及分数的表达形式不是唯一的，还未找到一个算法总是给出最短的形式。

贪婪算法

主条目：贪婪算法

贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。 例如：

${\frac {2}{7}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}$。共2项，是第一种好算法，比${\frac {2}{7}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}$的项数要少。

又例如， ${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}$比 ${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{759}}+{\frac {1}{208725}}$ 的最大分母要小，所以是第二种好算法。

1. 找出仅小于$r={\frac {a}{b}}$的最大单位分数。这个分数的分母的计算方法是：即用$b$除以$a$，舍去余数，再加1。（如果没有余数，则$r$已是单位分数。）
2. 把$r$减去单位分数，以这个新的、更小的$r$重复步骤1。

例子：把${\frac {19}{20}}$转成单位分数。

• $\lfloor 20\div 19\rfloor =1$，所以第1个单位分数是${\frac {1}{2}}$；
• ${\frac {19}{20}}-{\frac {1}{2}}={\frac {9}{20}}$；
• $\lfloor 20\div 9\rfloor =2$，所以第2个单位分数是${\frac {1}{3}}$；
• ${\frac {9}{20}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{60}}$；
• $\lfloor 60\div 7\rfloor =8$，所以第3个单位分数是${\frac {1}{9}}$；
• ${\frac {7}{60}}-{\frac {1}{9}}={\frac {1}{180}}$已是单位分数。

所以结果是：

${\frac {19}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{180}}$。

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特和斐波那契都提出过以上的方法。

Golomb算法

这个算法是基于贝祖等式的：当$a$,$b$互质，$ax-by=1$有无穷多对正整数解$(x,y)$。

选取最小的正整数解$(m,n)$。取单位分数分母为$bm$，重复步骤。

以${\frac {7}{10}}$为例：

• $7\times 3-10\times 2=1$ ，所以第1个单位分数是${\frac {1}{30}}$；
• $2\times 2-3\times 1=1$，所以第2个单位分数是${\frac {1}{6}}$；
• 第3个单位分数是${\frac {1}{2}}$。

二进制

最基本的方法就是将分数写成二进制数，便能将该分数写成分母为二的幂的单位分数之和。

换个说法就是重复求最小的正整数$n$使得${\frac {x}{y}}>{\frac {1}{2^{n}}}$。

这个方法的效率很低。

一个改善之道是选取正整数$n$使得$(2^{n}\times x){\bmod {y}}<2^{n+1}$。选取适当的正整数$r,s$（$r<y$）使得$2^{n}\times x=sy+r$。${\frac {x}{y}}={\frac {s}{2^{n}}}+{\frac {r}{2^{n}\times y}}$。将${\frac {s}{2^{n}}},{\frac {r}{2^{n}}}$写成二进制数。

例如： ${\frac {18}{23}}$：

• $(4\times 18){\bmod {2}}3<8$，$4\times 18=23\times 3+3$
• ${\frac {18}{23}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4\times 23}}$
• ${\frac {3}{4}}=0.15={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}$
• ${\frac {18}{23}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\times 23}}+{\frac {1}{4\times 23}}$

分拆

将一个分数表示成未必相异的单位分数之和。若有两个单位分数相同，可以用以下其中一种处理方式：

1. 若它们的分母是双数，便用它们的和取代；若它们的分母是单数，设它们的分母为$2k-1$，用${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{(2k-1)k}}$取代。
2. 设它们的分母为$p$，用${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+1}}+{\frac {1}{(p+1)p}}$取代。

或是${\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n(n+1)}}$←$n$可等于任意正整数

${\frac {1}{n}}$表示成为一个级数形式：

${\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{(n+1)^{4}}}+...+{\frac {1}{(n+1)^{k}}}+{\frac {1}{n(n+1)^{k}}}$

Engel展开式

• 参看Engel展开式。方法类同于贪心法

历史

莱因德数学纸草书

数学史家有时论述代数的发展分为三个基本阶段：

1. 文字代数：其问题以古代数学家所用的文字表述；
2. 省文代数：简化问题中一些字词，以帮助理解；
3. 符号代数：以符号代表运算符和算子，使更容易理解。

未知数以符号形式通常记为。我们从古埃及文稿得知，埃及祭司和书记采用文字代数的方式，以一个解为“堆”或“集”的字“阿哈”来表示未知数。

这是现存在伦敦的大英博物馆的莱因德数学纸草书（第二中间期）所载，其中一个阿哈问题的翻译：

“问题24： 一个数量和它的${\frac {1}{7}}$加起来是19。这数量是什么？”

“假设是7。7和7的${\frac {1}{7}}$是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上这样多倍以得到所要的数量。”

以现在的符号形式，$x+{\frac {x}{7}}={\frac {8x}{7}}=19$，故此${x}={\frac {133}{8}}$。检查： ${\frac {133}{8}}+{\frac {133}{7\times 8}}={\frac {133}{8}}+{\frac {19}{8}}={\frac {152}{8}}=19$。

注意问题中的分数。古埃及人以单位分数计算，如${\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{10}}$。

一个形状如开口的象形文字是表记分数的符号，这“开口”下有象形文字的数字就是分数的分母。

参见

• 丢番图方程
• 单位分数
• 欧德斯-斯特劳斯猜想