四维加速度

在相对论中，四维加速度是牛顿力学中三维加速度的对应推广，其为一个四维矢量。四维加速度应用于反质子湮灭反应、奇异粒子共振、加速电荷的辐射现象等研究领域中。

惯性坐标系中的四维加速度

在狭义相对论的惯性坐标系中，四维加速度$\mathbf {A}$定义为四维速度$\mathbf {U}$对一移动物体之固有时$\tau$的微分，也就是说

$\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right)$,

其中

$\mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}$ ，应用到三维加速度$\mathbf {a}$与三维速度$\mathbf {u}$；

以及

${\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}$

应用到速度$u$（$|\mathbf {u} |=u$）下的洛伦兹因子$\gamma _{u}$。变数上方的点代表对本参考系坐标时间$t$的微分，而非对物体固有时$\tau$的微分。也就是说${\dot {\gamma }}_{u}={d\gamma _{u} \over dt}$)。

在与该物体瞬时共同移动的惯性坐标系中$\mathbf {u} =0$, $\gamma _{u}=1$以及${\dot {\gamma }}_{u}=0$。亦即在这样的参考系中，

$\mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)$。

几何学上来看，四维加速度是移动物体世界线的曲率矢量。

因此四维矢量的大小（乃一标量）等同于物体沿世界线移动所“感受”到的固有加速度。

一物体的四维速度与四维加速度的内积（标量积）总是为0。

四维加速度与四维力之间有着简单的关系式：

$F^{\mu }=mA^{\mu },$

其中m是物体的不变质量。

当四维力为零，则仅只重力现象影响物体的轨迹，与牛顿第二定律相应的四维矢量版本简化为测地线方程。依测地线移动的物体，其四维加速度为零；这表示重力其实不是一种力，而是受到扭曲的时空几何。相应地，在牛顿力学，重力被当作一种力，其作用以三维加速度处理。

非惯性坐标系中的四维加速度

非惯性坐标系，包括了狭义相对论中的加速坐标系以及广义相对论中的任意坐标系。在这样的坐标系情况下，四维加速度为四维速度对固有时的绝对导数：

$A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }$

惯性坐标系中，克里斯多福符号$\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$皆为零，所以此式还原成上一节的式子。

值得注意的是：克里斯多福符号是在采用直角坐标的惯性系中为零。若选用弯曲坐标系以描述加速运动，则克里斯多福符号不全为零。

相关条目

• 四维矢量
• 四维速度
• 四维动量
• 四维力

参考文献

• Papapetrou A. Lectures on General Relativity. D. Reidel Publishing Company. 1974. ISBN 90-277-0514-3. 
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.