可加范畴

在范畴论中，一个可加范畴是一个存在有限双积的预加法范畴。旧文献所谓的“可加范畴”有时指预可加范畴，在当代理论中则倾向于区别两者。

一如预可加范畴，对一交换环 $k$ 也能定义 $k$ -可加范畴，可加范畴是 $k=\mathbb {Z}$ 的情形。

例子

最直接的例子是交换群范畴Ab，此时的有限双积即群的有限直积。其它常见例子包括：

一个环上的左模范畴，包括域或除环上的向量空间范畴。
环上的矩阵代数。

基本性质

加法范畴是预可加范畴的特例，因此具有预可加范畴的性质，在此仅考虑可加范畴对双积的特性：

首先注意到空双积存在，称为零对象，记作 $0$ ；它同时是范畴中的始对象与终对象。

给定加法范畴中的对象 $A,B$ ，考虑与自身的双积 $A^{n}$ 与 $B^{m}$ ；透过双积的射影与内射态射，能够以矩阵表示从 $A^{n}$ 至 $B^{m}$ 的态射；若取 $A=B$ 、 $n=m$ ，则态射的合成对应于方阵乘法。

可加函子

一个预加法范畴间的函子 $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 若在同态集上给出群同态，则称作可加函子。如果 ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ 还是可加范畴，而且 $F$ 保存双积的交换图，则称之为（可加范畴间的）可加函子。换言之：

若 $B$ 是 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的双积，设 $p_{j}$ 为相应的投影而 $i_{j}$ 为相应的内射，则 $F(B)$ 是 $F(A_{1}),\ldots ,F(A_{n})$ 的双积，使得 $F(p_{j})$ 为相应的投影而 $F(i_{j})$ 为相应的内射。