割圆术 (赵友钦)

赵友钦割圆术

赵友钦《革象新书》卷五《乾象周髀》篇割圆术书影

赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同，赵氏割圆术从分割内接正方形开始。

如图，圆的半径为r; 内接正方形的边长为 $\ell$,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d

$d={\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}$

$e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-({\frac {\ell }{2}})^{2}}}$

d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。

令正八边形的边长为$\ell _{2}$

$\ell _{2}={\sqrt {(\ell /2)^{2}+e^{2}}}$

$\ell _{2}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {\ell ^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-\ell ^{2}}})^{2}}}$

设$\ell _{3}$ 为分割圆成正16边形之边长，赵友钦正确地推断$\ell _{3}$与$\ell _{2}$的迭代关系：

$\ell _{3}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{2})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{2})^{2}}})^{2}}}$

推而广之：

$\ell _{n+1}={\frac {1}{2}}*{\sqrt {(\ell _{n})^{2}+4*(r-{\frac {1}{2}}*{\sqrt {4*r^{2}-(\ell _{n})^{2}}})^{2}}}$

令 r=1;

$\ell _{1}={\sqrt {(}}2)$

$\ell _{2}={\sqrt {2-{\sqrt {(}}2)}}$

$\ell _{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}$

$\ell _{4}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}$

$\ell _{5}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {(}}2)}}}}}}}}$

……

圆周率

赵友钦指出，分割越细，正多边形的边数愈多，正多边形越接近圆周。

角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极

他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形，从而获得

三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇

$\pi ={\frac {3141.592}{1000}}$

正多边形	圆周率近似值
4	3.121445
8	3.136548
16	3.140331
32	3.141277
64	3.141513
128	3.141572
256	3.141587
512	3.141591
1024	3.141592
2048	3.141592
16384	3.141592+

密率

南朝祖冲之发现密率：

$\pi \approx {\frac {355}{113}}$

但这个密率比在以后数百年间，无人问津，直到赵友钦重新提及这个密率分数。

赵友钦在获得

$\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}$

后，他将 3141.592 乘以 113

以一百一十三乘之果得三百五十五尺，此为其法所以极精密也

$113*\pi \approx {\frac {3141.592}{1000}}*113=355$

即：

$\pi \approx {\frac {355}{113}}$

参见

割圆术 (刘徽)