八元数 （英语：Octonion ）是以实数构建的8维度赋范可除代数 ，为四元数 非结合 推广的超复数 ，通常记为O 或
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
四元数 的组合。八元数不具备结合律 和交换律 ，但具备交错代数 的特性，并保有幂结合性 。
也许是因为八元数的乘法不具备结合性，因此它们作为超复数 而言受关注的程度较四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论 、狭义相对论 和量子逻辑
八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯 威廉·卢云·哈密顿 的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。[ 1] :168 后来八元数由阿瑟·凯莱 在1845年独自发表。[ 2] 阿瑟·凯莱 发表的时间稍晚一些[ 3] [ 2] 凯莱数 或凯莱代数 。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。[ 4]
八元数可以视为实数 的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构 为例，八元数可以表达为2个四元数 P Q P +Q l
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
l [ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}
在这种定义下每一个八元数都是单位八元数 {1, i , j , k , l , il , jl , kl } 线性组合 。也就是说，每一个八元数x 都可以写成[ 6]
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
其中系数x a [ 5]
i
2
=
j
2
=
k
2
=
l
2
=
(
i
l
)
2
=
(
j
l
)
2
=
(
k
l
)
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}
八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数 和四元数 一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表 来决定。[ 6]
×
{\displaystyle \times }
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
i
l
{\displaystyle il}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
{\displaystyle k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
j
{\displaystyle j}
j
{\displaystyle j}
−
k
{\displaystyle -k}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
l
{\displaystyle -l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
−
l
{\displaystyle -l}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
−
1
{\displaystyle -1}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
i
l
{\displaystyle il}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
l
{\displaystyle -kl}
j
l
{\displaystyle jl}
−
i
{\displaystyle -i}
−
1
{\displaystyle -1}
−
k
{\displaystyle -k}
j
{\displaystyle j}
j
l
{\displaystyle jl}
j
l
{\displaystyle jl}
k
l
{\displaystyle kl}
l
{\displaystyle l}
−
i
l
{\displaystyle -il}
−
j
{\displaystyle -j}
k
{\displaystyle k}
−
1
{\displaystyle -1}
−
i
{\displaystyle -i}
k
l
{\displaystyle kl}
k
l
{\displaystyle kl}
−
j
l
{\displaystyle -jl}
i
l
{\displaystyle il}
l
{\displaystyle l}
−
k
{\displaystyle -k}
−
j
{\displaystyle -j}
i
{\displaystyle i}
−
1
{\displaystyle -1}
一些不同的定义方式会将八元数的单位元表达为e a a =0, 1,..., 7 [ 7]
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
当中的
e
0
{\displaystyle e_{0}}
x [ 8]
x
=
x
0
e
0
+
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
x
3
e
3
+
x
4
e
4
+
x
5
e
5
+
x
6
e
6
+
x
7
e
7
,
{\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}
[ 9] :5 其中xi ei 四元数 的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出[ 7] {1, i , j , k , l , il , jl , kl }
p
0
+
p
1
i
+
p
2
j
+
p
3
k
+
(
q
0
+
q
1
i
+
q
2
j
+
q
3
k
)
l
{\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}
[ 10]
e
i
e
j
{\displaystyle e_{i}e_{j}}
[ 11]
e
j
{\displaystyle e_{j}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
i
{\displaystyle e_{i}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
0
{\displaystyle e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
−
e
4
{\displaystyle -e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
7
{\displaystyle -e_{7}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
e
2
{\displaystyle e_{2}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
6
{\displaystyle e_{6}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
5
{\displaystyle -e_{5}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
3
{\displaystyle e_{3}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
−
e
1
{\displaystyle -e_{1}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
e
7
{\displaystyle e_{7}}
−
e
6
{\displaystyle -e_{6}}
e
5
{\displaystyle e_{5}}
e
4
{\displaystyle e_{4}}
−
e
3
{\displaystyle -e_{3}}
−
e
2
{\displaystyle -e_{2}}
e
1
{\displaystyle e_{1}}
−
e
0
{\displaystyle -e_{0}}
除了主对角线上以及
e
0
{\displaystyle e_{0}}
该表可总结如下：[ 12]
e
i
e
j
=
{
e
j
,
if
i
=
0
e
i
,
if
j
=
0
−
δ
i
j
e
0
+
ε
i
j
k
e
k
,
otherwise
{\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
其中δij 克罗内克δ函数 （当且仅当i = j εijk 完全反对称张量 ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365[ 9]
然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是
e
0
=
1
{\displaystyle e_{0}=1}
{
e
0
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
e
4
,
e
5
,
e
6
,
e
7
}
,
{\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}
[ 13]
这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。 一个常见的选择是使用 e 1 e 2 = e 4 e n
i
j
k
l
{\displaystyle ijkl}
[ 14]
此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为
1
,
i
,
j
,
k
,
L
,
m
,
n
,
o
{\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}
[ 15]
一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造 。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,d)}
[ 8] :153
(
a
,
b
)
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
d
∗
b
,
d
a
+
b
c
∗
)
{\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
其中
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
z
{\displaystyle z}
[ 16]
八元数的乘积的简单记忆。 一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i 、j 和k 的圆也视为一条直线），称为法诺平面 [ 17] Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
[ 18]
设(a , b , c ) [ 18]
ab = c ，ba = −c 以及它们的循环置换 [ 18]
1是乘法单位元，
对于图中的每一个点，都有
e
2
=
−
1
{\displaystyle e^{2}=-1}
完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
[ 8] :151-152
八元数
x
=
x
0
+
x
1
i
+
x
2
j
+
x
3
k
+
x
4
l
+
x
5
i
l
+
x
6
j
l
+
x
7
k
l
{\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}
的共轭为：
x
∗
=
x
0
−
x
1
i
−
x
2
j
−
x
3
k
−
x
4
l
−
x
5
i
l
−
x
6
j
l
−
x
7
k
l
.
{\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}
当中除了实数项外，其余项正负号皆相反 。因此若将八元数单位表达为{e 1 , e 2 ... e 7 } [ 9] :6
x
∗
=
x
¯
=
x
0
e
0
−
x
i
e
i
,
i
=
1
,
2
⋯
7
{\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}
共轭是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
对合 ，满足
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
[ 16]
x 的实数部分定义为
R
e
(
x
)
=
x
+
x
∗
2
=
x
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}
I
m
(
x
)
=
x
−
x
∗
2
{\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}
[ 16]
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
Im(
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
[ 8] :186
八元数x 的范数 可用与自身共轭的积
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}
[ 16]
‖
x
‖
=
x
∗
x
{\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}
在这里，平方根 是定义良好的，因为
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
[ 注 1]
‖
x
‖
2
=
x
∗
x
=
x
0
2
+
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
x
4
2
+
x
5
2
+
x
6
2
+
x
7
2
{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}
这个范数与
R
8
{\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}
欧几里得范数 是一致的。
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
逆元素 。x ≠ 0[ 16] [ 9] :6
x
−
1
=
x
∗
‖
x
‖
2
{\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}
它满足
x
x
−
1
=
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}
八元数的乘法既不是交换 的：[ 9] :6
i
j
=
−
j
i
≠
j
i
{\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}
也不是结合 的：[ 5] :41
(
i
j
)
l
=
−
i
(
j
l
)
≠
i
(
j
l
)
{\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}
然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性 [ 9] :2 。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数 [ 9] :3 实际上，我们可以证明，由
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
四元数 不一样。[ 9]
八元数确实保留了
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
‖
x
y
‖
=
‖
x
‖
‖
y
‖
{\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数 。所有由凯莱-迪克松构造 所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子 。[ 19]
这样，实数域上唯一的赋范可除代数是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
可除代数 [ 8] :155
由于八元数不是结合的，因此
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
拟群 。
八元数的自同构 A ，是
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
线性变换 ，满足：
A
(
x
y
)
=
A
(
x
)
A
(
y
)
.
{\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
群 ，称为G 2 [ 21] [ 9] G 2 单连通 、紧致 、14维的实李群 。[ 22] 例外李群 [ 23]
^ 在范数可良好定义的前提下，
x
+
x
∗
2
∈
R
{\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }
x
∗
x
>
0
{\displaystyle x^{*}x>0}
[ 16]
x
∗
x
=
x
x
∗
{\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}
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可数集
自然数 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
整数 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
有理数 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
规矩数 代数数 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
周期 可计算数 可定义数 高斯整数 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
艾森斯坦整数 合成代数
可除代数 实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
凯莱－迪克森结构
实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
三十二元数 六十四元数 一百二十八元数 二百五十六元数…… 分裂 其他超复数 其他系统
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. （原始内容存档于2008-10-09）.
, Dover Publications, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601
