阿贝尔范畴
（重定向自交換範疇）
在数学中，阿贝尔范畴（或称交换范畴）是一个能对态射与对象取和，而且核与上核存在且满足一定性质的范畴；最基本的例子是阿贝尔群构成的范畴Ab。阿贝尔范畴是同调代数的基本框架。
定义
[编辑]阿贝尔范畴的公理版本繁多，在此仅取其一（见外部链接）。
一个范畴若满足下述条件，则称阿贝尔范畴：
只满足前两个条件者称作预阿贝尔范畴。
若取为一交换环，则在上述定义中以k-加法范畴代换加法范畴，便得到k-阿贝尔范畴之定义。
例子
[编辑]- 如上所述，全体阿贝尔群构成一个阿贝尔范畴Ab，而有限生成阿贝尔群构成的满子范畴也是阿贝尔范畴，有限阿贝尔群亦同。
- 设为环，则左（或右）-模范畴构成一个阿贝尔范畴；根据Mitchell嵌入定理，任何小的阿贝尔范畴皆价于某个-模范畴的一个满子范畴。
- 如果是左诺特环，则有全体有限生成左-模构成阿贝尔范畴；这是阿贝尔范畴在交换代数中的主要面貌。
- 由前两个例子可知：固定一个域或除环，其上的向量空间成一阿贝尔范畴，有限维向量空间亦同。
- 设为拓扑空间，则所有上的（实或复）向量丛构成阿贝尔范畴。
- 承上，固定一个阿贝尔范畴，则取值于的层与预层都构成阿贝尔范畴。这是阿贝尔范畴在代数几何中的主要面貌。
- 若为小范畴而为阿贝尔范畴，则所有函子构成一个阿贝尔范畴（其态射为自然变换），若更设为预加法范畴，则所有加法函子也构成阿贝尔范畴。这在一方面推广了空间上预层的例子，一方面也函摄了-模的例子，因为环可视为仅有单个对象的预加法范畴。
- 拓扑向量空间是预阿贝尔范畴，而非阿贝尔范畴。
基本性质
[编辑]- 在阿贝尔范畴中，任何态射皆可分解为单射。满射，其中的满射称为的上像，而单射则称为的像。此性质源自公理中对态射严格性的要求。
- 任一态射是单射当且仅当，是满射当且仅当，是同构当且仅当。
- 子对象与商对象具良好性质。例如：任一对象的子对象构成的偏序集合是有界格。
- 任一阿贝尔范畴可设想为有限生成阿贝尔群的么半范畴上的模；这意谓着我们能构造一个有限生成阿贝尔群与对象的张量积。
- 承上，阿贝尔范畴也是上模；可以诠释为的对象。若 完备，的有限生成假设可以移除。
相关概念
[编辑]阿贝尔范畴是同调代数的基本框架，它容许讨论同调代数中的基本构造，如正合序列、短正合序列与导函子。
对所有阿贝尔范畴均成立的重要结果包括五引理（含特例短五引理）与蛇引理（含特例九引理）等等。
源流
[编辑]阿贝尔范畴源于亚历山大·格罗滕迪克知名的东北论文，该论文发表于1950年代，当时存在两套不同的上同调理论：群上同调与层上同调，两者性质相近而定义迥异。格罗滕迪克将两套理论以阿贝尔范畴上的导函子统合：一者是拓扑空间上的阿贝尔层范畴，一者则是群的-模范畴，导出上同调的函子分别是与。
文献
[编辑]- P. Freyd. Abelian Categories, Harper and Row, New York, 1964. 可在线阅读. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Alexandre Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Mathematics Journal, 1957
- Barry Mitchell: Theory of Categories, New York, Academic Press, 1965.
- N. Popescu: Abelian categories with applications to rings and modules, Academic Press, London, 1973.
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490