九点圆
九点圆定理指出:在平面中,对所有三角形,其三边的中点、三高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点,必然共圆,这个圆被称为九点圆,又称欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆具有以下性质:
1765年,莱昂哈德·欧拉证明:“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆(六点圆)。”许多人误以为九点圆是由欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列(1821年)。1822年,卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆,并得出“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”,因此德国人称此圆为费尔巴哈圆,并称这四个切点为费尔巴哈点。柯立芝与大上茂乔(Shigetaka Ooue)[1]分别于1910年与1916年发表“圆周上四点任取三点做三角形,四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆,此结果还可推广到n边形。
如图:
、
、
为三边的中点,
、
、
为垂足,
、
、
为和顶点到垂心的三条线段的中点。
- 容易得出
、
(
相似)
- 因此
![{\displaystyle {\overline {FJ}}//{\overline {BH}}//{\overline {DL}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94746c562db19f79920b7a1f3b4ec5eb42f4d3b)
- 同样可得出
、
(
相似)
- 因此
![{\displaystyle {\overline {FD}}//{\overline {AC}}//{\overline {JL}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb65cddb8fc558042f6e90eaa01e98a6fee45433)
- 又
,可得出四边形
是矩形(四点共圆)
- 同理可证
也是矩形(
共圆)
,因此可知
也在圆上(圆周角相等)
- 同理可证
、
两点也在圆上(九点共圆)
九点圆的半径是外接圆的一半,且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
- 在直角坐标系中,已知圆的方程为
,其中
为圆的半径,
为圆的圆心坐标。若做圆上三点与点
的中点的轨迹,则此轨迹的方程式为:
![{\displaystyle \left(x-{\frac {x_{0}+x_{S}}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}+y_{S}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ae60184b37a000d1fb29454e8e67bad25ca56f)
- 设
为外接圆的半径、
为外接圆的圆心坐标、点
为垂心坐标。
- 已知九点圆通过顶点到垂心的三条线段的中点,故此轨迹圆就是九点圆,半径是外接圆的一半,且平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
- 同时还可以得出下面的性质:
- 圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。由此可知,给定三角形顶点座标,九点圆圆心为
- 圆周上四点任取三点做三角形,四个三角形的九点圆圆心共圆。
- 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足(相对于对棱)共球的特例,两者是同构的
- 主旁心三角形的九点圆是三角形的外接圆
- 中点三角形的外接圆是三角形的九点圆
- 三线坐标中,九点圆的座标为
![{\displaystyle \cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badba6099c9a9733f8aea6e58b145da137a8331a)
- 三线坐标中,费尔巴哈点的座标为
![{\displaystyle 1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940727b9a8c288c4a600c6125917470fbd24e0e1)