在数学中,阶乘幂(英语:Factorial power)是基于自然数数列积的一种运算,分为递进阶乘(英语:Rising factorial)和递降阶乘(英语:Falling factorial),或称上升阶乘和下降阶乘,
递进阶乘与递降阶乘有多种书写方式。
由里奥·珀赫哈默尔引进的珀赫哈默尔符号(Pochhammer symbol)是常用的一种,分别为
与
。
一种较为少见的写法将递进阶乘记作
。
葛立恒、高德纳与奥伦·帕塔什尼克在《具体数学》一书中,则引进符号
与
。
在组合学和特殊函数理论中,递进阶乘用于表达上升自然数数列的积,定义为

在组合学中也常用递降阶乘:

另外,值得一提的是递降阶乘实际上是排列
,详见排列。
递进阶乘与递降阶乘,两者之间的关系为:

它们与阶乘的关系为:

零次幂的递进阶乘与递降阶乘都定义为空积 1 :
。
运用伽玛函数,阶乘幂的定义域可以扩展到实数。
递进阶乘的定义变为

递降阶乘则为

递进阶乘与递降阶乘都能以二项式系数形式表达:


于是二项式系数适用的许多性质都适用于递进阶乘与递降阶乘。
显然,递进阶乘与递降阶乘作为 n 个连续整数的积,它定能被 n 整除,即
;
。
当 n=4 ,递进阶乘与递降阶乘必定能表达为一个完全平方数减1,即
;
。
递进阶乘与递降阶乘遵从一个类似二项式定理的规则:


其中系数为二项式系数。
因为递降阶乘是多项式环的基础,我们可以将递降阶乘的积表示为递降阶乘的线性组合:

等式右边的系数则为二项式系数。
阶乘幂能一般化至任意函数和公差:
![{\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd5d3c77292be3f8ccdaaa02eeb6e853ce8d3bd)
![{\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89d36d2c49bc7f16755624a4ccc926d8f5e0ea6)
使用这个记号,原来的递进阶乘与递降阶乘便记作
和
。
差分方程里常使用递降阶乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,递降阶乘
替代微分中的
例如:

与

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。
[1]
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
- Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .
- ^ Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].