三立方数和

整数x、y与z满足x³ + y³ + z³ = n的半对数图线，其中n ∈ [0, 100]。绿色条带代表已证明无解的整数。

三立方数和问题（英语：sums of three cubes）是指丢番图方程$x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。

小整数例

$n=0$时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在$n=0$时的三立方和只有如下平凡解：

$a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.$

$n=1,2$时，存在如下解系，有无数解：

$(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1$

以及，

$(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.$

上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和。除上述表示外，$n=1$也有其他三立方和解系，$n=2$有如下著名解：

$1214928^{3}+3480205^{3}+(-3528875)^{3}=2,$

$37404275617^{3}+(-25282289375)^{3}+(-33071554596)^{3}=2,$

$3737830626090^{3}+1490220318001^{3}+(-3815176160999)^{3}=2.$

然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示。即便在$n=3$处，也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即：

$1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3$

“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余。2019年9月前，上述两式曾经是$n=3$长期以来仅有的2组已知解，但就在同一月，发现了第3组解：

$569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3$

计算结果

1955年起，莫德尔（Mordell）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。对于1000以内的正整数$n$，埃尔森汉斯（Elsenhans）与雅内尔（Jahnel）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法找到了$\max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}$范围内的所有解。2016年，于斯曼（Huisman）使用同样的方法将搜索上界提升至$\max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}$。到此时为止，$n<100$的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的$n$都找到了至少一组整数解。

2019年，安德鲁·布克采用一种新方法发现了$n=33$的一组解：

$33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}$

此时，他在$\min(|x|,|y|,|z|)<10^{16}$的范围里尚没有找到$n=42$的解。

随后在2019年9月，布克和安德鲁·萨瑟兰最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来：

$42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}$

这个解的获得在Charity Engine全球网络（Charity Engine's global grid）上耗费了130万机时。

至此1到100之间的所有整数都确认了是否有非零整数解。截至2019年9月 (2019-09)，未能求解最小整数是$n=114$，如果有解的话，$(|x|,|y|,|z|)$至少有一数大于100000000000。

在2021年1月初，又解决了579：

$579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}$

至此，仅剩的未解决的在1000以内的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7个。