在数学中,张量积,记为
,可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。
例子:

结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。
这里的秩指的是“张量秩”(所需指标数),而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目;矩阵的秩是 2。
代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。
有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如,如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量,则它们的张量积的分量给出为
。[1]
所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。
注意在张量积中,因子 V 消耗前 rank(V) 个指标,而因子 U 再消耗 rank(U) 个指标,所以

设 U 是类型 (1,1) 的张量,带有分量 Uαβ;并设 V 是类型 (1,0) 的张量,带有分量 Vγ。则

而
。
张量积继承它的因子的所有指标。
对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积,用来明确结果有特定块结构在其上,其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵
和
:
。
给定多重线性映射
和
它们的张量积是多重线性函数

在域
上的两个向量空间 V 和 W 的张量积
有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些
的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为
。通过构造,可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。
要构造
,采用在
之上带有基
的向量空间,并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系:



这里的
是来自适当空间的向量,而
来自底层域
。
我们可以推出恒等式
,
零在
中。
结果的张量积
自身是向量空间,它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基
和
,形如
的张量形成
的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积;例如
有维数
。
张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ),这里的 X 是向量空间,而 ψ 是双线性映射 V × W → X,则存在一个唯一的线性映射

使得
。
假定这个泛性质,张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。
直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射

和线性映射

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。
两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间,其定义如下。
设
和
是两个希尔伯特空间,分别带有内积
和
。构造 H1 和H2 的张量积
如下:
考虑他们的作为线性空间的张量积
。
和
上的内积自然地扩展到
上:
由内积的双线性(Bilinearity),只需定义

其中
和
即可。
现在
是一未必完备的内积空间。将
完备化,得到希尔伯特空间
,这就是 H1 和 H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中,
具有如前所述的泛性质,即它是二者在该范畴内的乘积。
如果 H1 和 H2 分别有正交基 {φk} 和 {ψl},则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。
在泛性质的讨论中,替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间
(
的对偶空间,包含在那个空间上的所有线性泛函),它自然的同一于在
上所有双线性函数的空间。换句或说,所有双线性泛函是在张量积上的泛函,反之亦然。
只要
和
是有限维的,在
和
之间有一个自然的同构,而对于任意维的向量空间我们只有一个包含
。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法,把双线性泛函看做张量积自身。
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类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形,比如定义了一个内积,这种区分是无关的。