贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系[1]。
两个非线性偏微分方程
之间的贝克隆德变换,指的是这样一对关系
贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。
1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v


之间有如下关系:[2]

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。
将贝克隆德自变换第一式对t取微商,二式对x微商:
消除v即得
;
消除u项即得

贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解:[3]
Sine-gordon kink2d
Sine-gordon 3D animation1
Sine-gordon 3D animation2
利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程:
由贝克隆德自变换
令v=0,得
,显然
,两边对x积分,得:
对贝克隆德自变换第二式作同样运算得:
经过三角函数运算,二式简化为
二式相加得:
,
分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解:
又从
直接接求u得另外两个解析解:
可积系统
KdV方程
- ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
- ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年
- ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年