项测试
外观
(重定向自项测试)
第n项测试(the n-th term test for divergence)是数学上测试无穷级数是否发散的一个方式[1]。
- 若 或极限不存在,则 发散。
许多数学书籍的作者没有为上述的测试方式命名[2]
用途
[编辑]项测试和其他较强的收敛测试不同,此测试方式只能确认级数是否发散,不能确认级数是否收敛。若不符合此测试的条件,无法判定级数是收敛或是发散。例如:
- 若 则 可能收敛也可能发散,此条件下无法用此测试判定级数是否收敛。
调和级数就是不符合此测试的发散条件,却又是发散级数的典型范例。调和级数是以下p级数的特例:
配合项测试及其他测试,可得到以下的结果:
- 若p ≤ 0,根据项测试可知此级数发散。
- 若0 < p ≤ 1,根据项测试无法判定级数发散或收敛,根据积分判别法可判定此级数发散。
- 若1 < p,根据项测试无法判定级数发散或收敛,根据积分判别法可判定此级数收敛。
证明
[编辑]要证明此测试法,一般都会证明其逆否命题(contrapositive)形式;
- 若收敛,则
利用极限证明
[编辑]若 sn 是级数的部分和,则上述对数列的假设可推得
因此可得[3]
柯西判别法
[编辑]级数收敛的假设表示级数可以满足柯西判别法的测试:对任意均存在一数字N使得
在所有n > N及p ≥ 1的条件下均成立。令p = 1,即可得到[4]
应用范围
[编辑]项测试最简单的版本可以用在实数的无穷级数中。上述的二个证明也可以在适用在赋范向量空间中[5]。
脚注
[编辑]参考资料
[编辑]- Brabenec, Robert. Resources for the study of real analysis. MAA. 2005. ISBN 0883857375.
- Hansen, Vagn Lundsgaard. Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. 2006. ISBN 9812565639.
- Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508.
- Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
- Stewart, James. Calculus: Early transcendentals 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2.
- Șuhubi, Erdoğan S. Functional Analysis. Springer. 2003. ISBN 1402016166.