逻辑运算符

在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。又称逻辑操作符（Logical Operators）。

基本运算符

基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。

注意，符号“与”（∧）和交集（∩），“或”（∨）和并集（∪）的相似性。这不是巧合：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。

这些连接符的真值表:

P	Q	¬P	P ∧ Q	P ∨ Q	P → Q	P ↔ Q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

为了减少需要的括号的数量，有以下的优先规则：¬高于∧，∧高于∨，∨高于→。例如，P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。

二元逻辑联结词表

下面是在输入P和Q上的16个二元布尔函数。

永假 符号 等价公式 真值表 文氏图 $\bot$ P $\wedge$ ¬P   Q 0 1 P 0    0   0  1    0   0	永真 符号 等价公式 真值表 文氏图 $\top$ P $\vee$ ¬P   Q 0 1 P 0    1   1  1    1   1
合取 符号 等价公式 真值表 文氏图 P $\wedge$ Q P & Q P · Q P AND Q P $\not \rightarrow$¬Q ¬P $\not \leftarrow$ Q ¬P $\downarrow$ ¬Q   Q 0 1 P 0    0   0  1    0   1	与非 符号 等价公式 真值表 文氏图 P ↑ Q P | Q P NAND Q P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ∨ ¬Q   Q 0 1 P 0    1   1  1    1   0
非蕴涵 符号 等价公式 真值表 文氏图 P $\not \rightarrow$ Q P $\not \supset$ Q P & ¬Q ¬P ↓ Q ¬P $\not \leftarrow$ ¬Q   Q 0 1 P 0    0   0  1    1   0	蕴涵 符号 等价公式 真值表 文氏图 P → Q P $\supset$ Q P ↑ ¬Q ¬P ∨ Q ¬P ← ¬Q   Q 0 1 P 0    1   1  1    0   1
命题P 符号 等价公式 真值表 文氏图 P   Q 0 1 P 0    0   0  1    1   1	非P 符号 等价公式 真值表 文氏图 ¬P ~P   Q 0 1 P 0    1   1  1    0   0
反非蕴涵 符号 等价公式 真值表 文氏图 P $\not \leftarrow$ Q P $\not \subset$ Q P ↓ ¬Q ¬P & Q ¬P $\not \rightarrow$ ¬Q   Q 0 1 P 0    0   1  1    0   0	反蕴涵 符号 等价公式 真值表 文氏图 P $\leftarrow$ Q P $\subset$ Q P ∨ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q   Q 0 1 P 0    1   0  1    1   1
命题Q 符号 等价公式 真值表 文氏图 Q   Q 0 1 P 0    0   1  1    0   1	非Q 符号 等价公式 真值表 文氏图 ¬Q ~Q   Q 0 1 P 0    1   0  1    1   0
异或 符号 等价公式 真值表 文氏图 P $\not \leftrightarrow$ Q P $\not \equiv$ Q P $\oplus$ Q P XOR Q P ↔ ¬Q ¬P ↔ Q ¬P $\not \leftrightarrow$ ¬Q   Q 0 1 P 0    0   1  1    1   0	双条件 符号 等价公式 真值表 文氏图 P ↔ Q P ≡ Q P XNOR Q P IFF Q P $\not \leftrightarrow$ ¬Q ¬P $\not \leftrightarrow$ Q ¬P ↔ ¬Q   Q 0 1 P 0    1   0  1    0   1
析取 符号 等价公式 真值表 文氏图 P ∨ Q P ∨ Q P OR Q P $\leftarrow$ ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q   Q 0 1 P 0    0   1  1    1   1	或非 符号 等价公式 真值表 文氏图 P ↓ Q P NOR Q P $\not \leftarrow$ ¬Q ¬P $\not \rightarrow$ Q ¬P ∧ ¬Q   Q 0 1 P 0    1   0  1    0   0

图示

真值表		哈斯图