谢尔宾斯基三角形
外观
(重定向自谢尔宾斯基三角形)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Sierpinski_pyramid.png/220px-Sierpinski_pyramid.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/SierpinskiTriangle.svg/220px-SierpinskiTriangle.svg.png)
谢尔宾斯基三角形(英语:Sierpinski triangle)是一个分形,在二十世纪初以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基命名,但这类图案曾广泛地出现十三世纪科斯马蒂式的石雕装饰上。[1]它是自相似集的例子。
构造
[编辑]去掉中心
[编辑]- 取一个实心的三角形。(多数使用等边三角形)
- 沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形。
- 去掉中间的那一个小三角形。
- 对其余每个三个小三角形重复1。
取其他形状,如一个正方形,用类似的方法构造,也会得到类近谢尔宾斯基三角形的图案:
混沌游戏
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski.gif/220px-Tri%C3%A2ngulo_de_Sierpinski.gif)
用随机的方法(Chaos Game),都可得到谢尔宾斯基三角形:
- 取平面上三点A,B,C,组成一三角形
- 任意取三角形 ABC内的一点
- 画出 P和三角形其中一个顶点的中点,并将P移动到这个点
- 重复3
L系统
[编辑]下图展示了曲线如何逼近谢尔宾斯基三角形。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Serpinski_Lsystem.svg/486px-Serpinski_Lsystem.svg.png)
这条曲线以L系统来记述为:
- 变数: A , B
- 常数: + , -
- 公理: A
- 规则:
- A → B-A-B
- B → A+B+A
- A,B : 向前
- - : 左转60°
- + : 右转60°
性质
[编辑]对整数维度 ,将一个物体每边都放大一倍时,物体的体积会增大 倍。对谢尔宾斯基三角形,将它放大一倍会得到三个与原图案一样大小的三角形,因此它的豪斯多夫维是。
谢尔宾斯基三角形的面积为零(见勒贝格测度)。每一次迭代后图案的面积都是原来的 ,无穷迭代令该面积收敛于零。[2]
外部链接
[编辑]- 以去掉中心三角形的构作法(cut-the-knot)(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 以Chaos Game的原理绘谢尔宾斯基三角形:
- 游戏(页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Sierpinski Gasket and Tower of Hanoi:与河内塔的关系
- ^ Williams, Kim. Stewart, Ian , 编. The pavements of the Cosmati. The Mathematical Tourist. The Mathematical Intelligencer. December 1997, 19 (1): 41–45. S2CID 189885713. doi:10.1007/bf03024339.
- ^ Helmberg, Gilbert, Getting Acquainted with Fractals, Walter de Gruyter: 41, 2007, ISBN 9783110190922.