西格尔模形式

在数学中，西格尔模形式是辛群上的自守形式。西格尔模形式是西格尔上半平面上的一类多变元全纯函数，模形式是其特例。在模空间的意义下，若模形式对应到椭圆曲线，则西格尔模形式便对应更广的阿贝尔簇。

卡尔·西格尔在1930年代引入这个概念，本意在以解析数论处理二次型的问题。西格尔模形式后来也用于代数几何、椭圆上同调及某些物理学问题，例如共形场论。

定义

固定正整数 $g,N$ 。首先定义西格尔上半平面为

{\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{T}=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau )>0\right\}

,

换言之，此即虚部正定之对称矩阵构成的空间。

再定义一个离散子群

\Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\}

,

其中 $I_{g}$ 表 $g\times g$ 阶单位矩阵。

再设

\rho :{\textrm {GL}}(g,\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)

为一有理复表示，这相当于说 $\rho$ 是代数簇之间的有理映射，并保持群运算。

现在可以定义西格尔模形式：对任一函数 $f:{\mathcal {H}}_{g}\to V$ ，我们采用下述符号

\gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

(f{\big |}\gamma )(\tau ):=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau )

.

所谓权为 $\rho$ 、次数为 $g$ 、阶为 $N$ 的西格尔模形式，是满足下述条件的全纯函数 $f:{\mathcal {H}}_{g}\to V$

\forall \gamma \in \Gamma _{g}(N)\;(f{\big |}\gamma )=f

.

当 $g=1$ 时，须要求 $f$ 在无穷远处全纯。对于 $g>1$ ，可证明此条件自动成立（Koecher 定理）。