奥古斯丁·菲涅耳 在光学 里，菲涅耳衍射 （Fresnel diffraction），又称近场衍射 （Near-field diffraction）[ 1] 光波 在近场区域的衍射 。菲涅耳衍射积分式 可以用来计算光波在近场区域的传播，因法国物理学者奥古斯丁·菲涅耳 而命名，是基尔霍夫衍射公式 的近似。[ 2]
从每一个光学系统特征的菲涅耳数 ，可以辨别光波传播的区域是近场还是远场。设想光波入射于任意孔径，对于这光学系统，菲涅耳数定义为
F
=
d
e
f
a
2
L
λ
{\displaystyle F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}}
其中，
a
{\displaystyle a}
L
{\displaystyle L}
λ
{\displaystyle \lambda }
波长 。
假若
F
≳
1
{\displaystyle F\gtrsim 1}
菲涅耳衍射积分式 来计算其物理性质。
衍射示意图：照射光波于开有孔径的挡板，会在挡板后方区域产生菲涅耳衍射，从而形成波扰于点P。 假设照射光波于开有孔径的不透明挡板，则会有衍射图样出现于观察屏。根据惠更斯-菲涅耳原理 ，从孔径内部任意点次波源Q发射出的圆球面次波，在观察屏点P的波扰
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
λ
∫
S
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
R
R
K
(
χ
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {i}{\lambda }}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0){\frac {e^{ikR}}{R}}K(\chi )\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
其中，
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
直角坐标 ，
r
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',0)}
λ
{\displaystyle \lambda }
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle \psi (x',y',0)}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
χ
{\displaystyle \chi }
法矢量 与
R
{\displaystyle \mathbf {R} }
古斯塔夫·基尔霍夫 给出了倾斜因子
K
(
χ
)
{\displaystyle K(\chi )}
K
(
χ
)
=
1
2
(
1
+
cos
χ
)
{\displaystyle K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )}
除了最简单的衍射案例以外，几乎不可能找到这积分式的解析解。通常，必须使用数值分析 方法来解析这积分式。
为了要计算这积分式的解答，必须先使积分项目更简单化。设定
ρ
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}}
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
R
{\displaystyle R}
泰勒级数 表示为
R
=
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
ρ
2
+
z
2
=
z
1
+
ρ
2
z
2
=
z
[
1
+
ρ
2
2
z
2
−
1
8
(
ρ
2
z
2
)
2
+
⋯
]
=
z
+
ρ
2
2
z
−
ρ
4
8
z
3
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}
。 假若保留所有项目，则这级数式为精确解。[ 3]
R
{\displaystyle R}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
k
ρ
4
8
z
3
≪
2
π
{\displaystyle {\frac {k\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }
改换以波长
λ
=
2
π
/
k
{\displaystyle \lambda =2\pi /k}
ρ
4
8
z
3
λ
≪
1
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
将先前
ρ
{\displaystyle \rho }
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
2
8
z
3
λ
≪
1
{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}
假若，对于所有
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle (x',y',0)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
从这些论述，
R
{\displaystyle R}
R
≈
z
+
ρ
2
2
z
=
z
+
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
2
z
{\displaystyle R\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
这方程称为“菲涅耳近似”。这近似成立的条件是上述不等式。
例如，对于半径为1mm的圆孔，假设观察屏区域的半径也是1mm，入射波的波长为500nm，则近似成立的条件为
z
≫
(
ρ
4
8
λ
)
1
/
3
=
[
0.002
4
8
⋅
500
⋅
10
−
9
]
1
/
3
≈
0.016
[
m
]
{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}
圆孔与观察屏之间的距离
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
[ 4]
假设孔径尺寸超小于传播路径长度，则
K
(
χ
)
≈
1
{\displaystyle K(\chi )\approx 1}
x
,
y
≪
z
{\displaystyle x,y\ll z}
R
{\displaystyle R}
R
≈
z
{\displaystyle R\approx z}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
∫
S
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
e
i
k
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
]
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
这就是“菲涅耳衍射积分式”。仔细推敲这积分式的含意，假设菲涅耳近似成立，则位于孔径的次波源发射出的圆球面次波，会沿着z-轴方向，传播到观察屏。整个积分调制圆球面波的波幅与相位。只有对于少数案例，这方程存在分析解答。
更进一步近似，将
e
i
k
R
{\displaystyle e^{ikR}}
e
i
k
z
{\displaystyle e^{ikz}}
夫琅禾费衍射 。菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射不同的地方，主要是菲涅耳衍射将波前的曲率纳入考量，这是为了要精确计算相互干涉的波扰彼此之间的相对相位。
轴上照度 辐照度比率对无量纲距离图。 照射光波于开有孔径的挡板，会在挡板后方区域产生菲涅耳衍射，因此在观察屏会出现光斑。注意到在光斑的中心有一个黑点，这里的辐照度等于零，夫琅禾费衍射 不会在光斑的中心产生这黑点。 假设孔径是半径为
a
{\displaystyle a}
x
,
y
=
0
{\displaystyle x,y=0}
ψ
0
{\displaystyle \psi _{0}}
根据菲涅耳衍射积分式，
ψ
(
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ
0
λ
z
∫
S
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (0,0,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
改采极坐标
(
ρ
′
,
θ
′
)
{\displaystyle (\rho ',\theta ')}
ψ
(
0
,
0
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
ψ
0
λ
z
∫
0
a
e
i
k
ρ
′
2
/
2
z
ρ
′
d
ρ
′
=
−
ψ
0
e
i
k
z
(
e
i
k
a
2
/
2
z
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0,0,z)&=-\ {\frac {ie^{ikz}\psi _{0}}{\lambda z}}\int _{0}^{a}e^{ik\rho '^{2}/2z}\ \rho '\mathrm {d} \rho '\\&=-\psi _{0}e^{ikz}(e^{ika^{2}/2z}-1)\\\end{aligned}}}
。 辐照度
I
(
z
)
{\displaystyle I(z)}
[ 5]
I
(
z
)
=
ψ
∗
ψ
/
2
=
ψ
0
2
2
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
=
I
0
sin
2
(
k
a
2
/
4
z
)
{\displaystyle I(z)=\psi ^{*}\psi /2=\psi _{0}^{\ 2}\ 2\sin ^{2}(ka^{2}/4z)=I_{0}\sin ^{2}(ka^{2}/4z)}
从这函数绘制的辐照度比率对无量纲距离图展示出，离孔径越近，震荡越剧烈。这区域是菲涅耳衍射区域。在这区域里，辐照度的极值点分别为
极大值：当
z
=
a
2
2
n
λ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{2n\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
极小值：当
z
=
a
2
(
2
n
−
1
)
λ
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle z={\frac {a^{2}}{(2n-1)\lambda }},\qquad n=1,2,3,\dots }
离孔径越远，两个相邻极值点之间的间隔越大，
z
=
a
2
/
λ
{\displaystyle z=a^{2}/\lambda }
Z
F
=
a
2
/
λ
{\displaystyle Z_{F}=a^{2}/\lambda }
例如，对于半径为1mm的圆孔，假设入射波的波长为500nm，则
Z
F
{\displaystyle Z_{F}}
Z
F
=
0.001
2
500
⋅
10
−
9
≈
2
[
m
]
{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}
总结，孔径与观察屏之间的距离在2m以内是菲涅耳衍射区域，以外是夫琅禾费衍射区域。
轴侧照度 通过隆梅尔函数计算的菲涅耳圆孔衍射图 [ 6]
I
=
(
V
0
−
cos
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
+
(
V
1
−
sin
(
u
2
+
v
2
2
u
)
)
2
{\displaystyle I=\left(V_{0}-\cos \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}+\left(V_{1}-\sin \left({\frac {u^{2}+v^{2}}{2u}}\right)\right)^{2}}
其中
V
m
{\displaystyle V_{m}}
隆梅尔函数 (Lommel function)
V
m
=
∑
n
=
0
∞
∗
(
(
−
1
)
n
∗
(
v
u
)
2
∗
n
+
m
∗
J
2
n
+
m
(
v
)
)
{\displaystyle V_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }*((-1)^{n}*({\frac {v}{u}})^{2*n+m}*J_{2n+m}(v))}
J
2
n
+
m
(
v
)
{\displaystyle J_{2n+m}(v)}
2
n
+
m
{\displaystyle 2n+m}
贝塞尔函数
泊松光斑 圆盘衍射在轴上的强度为
I
=
I
0
∗
λ
2
/
4
{\displaystyle I=I_{0}*\lambda ^{2}/4}
因此圆盘衍射的轴上强度，和波长的平方成正比，而与圆盘的直径、与圆盘的距离无关，所以衍射图形的中心一定是个亮点。这个亮点称为泊松光斑 [ 7]
菲涅尔单缝衍射 菲涅耳单缝衍射的强度分布为：[ 8]
I
=
(
C
p
(
Y
)
−
C
q
(
Y
)
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
−
S
q
(
Y
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)-Cq(Y))^{2}+(Sp(Y)-Sq(Y))^{2}}
其中 Cp,Cq 为余弦菲涅耳积分 ：
C
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cp(Y):=\int _{0}^{p}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
S
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sq(Y)=\int _{0}^{q}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
菲涅耳单缝衍射图形与夫琅禾费单缝衍射明显不同之处在于前者的第一个极小值不等于0（如图），而后者为0。
菲涅尔直边衍射 菲涅耳直边衍射 一个平面波通过与光线传播方向垂直的不透明直边，
[ 9]
I
=
(
C
p
(
Y
)
+
0.5
)
2
+
(
S
p
(
Y
)
+
0.5
)
)
2
{\displaystyle I=(Cp(Y)+0.5)^{2}+(Sp(Y)+0.5))^{2}}
其中 Cq 为余弦菲涅耳积分 ：
C
q
(
Y
)
=
∫
0
q
(
cos
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Cq(Y)=\int _{0}^{q}(\cos((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
Sp 为正弦菲涅耳积分：
S
p
(
Y
)
:=
∫
0
p
(
sin
(
(
1
/
2
)
∗
π
∗
t
2
)
d
t
{\displaystyle Sp(Y):=\int _{0}^{p}(\sin((1/2)*\pi *t^{2})\,dt}
[ 10] [ 11]
设定函数
h
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle h(x,y,z)}
h
(
x
,
y
,
z
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
2
z
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle h(x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}
波扰
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \psi (x,y,z)}
卷积 形式：
ψ
(
x
,
y
,
z
)
=
∬
−
∞
∞
ψ
(
x
′
,
y
′
,
0
)
h
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
,
z
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi (x,y,z)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi (x',y',0)h(x-x',y-y',z)\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
或者，由于z-坐标与积分无关，可以将z-坐标信息提出，
ψ
z
(
x
,
y
)
=
∬
−
∞
∞
ψ
0
(
x
′
,
y
′
)
h
z
(
x
−
x
′
,
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }\psi _{0}(x',y')h_{z}(x-x',y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
这卷积又可以标记为
ψ
z
(
x
,
y
)
=
ψ
0
(
x
,
y
)
∗
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)=\psi _{0}(x,y)*h_{z}(x,y)}
根据卷积定理 ，函数卷积的傅里叶变换 是函数傅里叶变换的乘积，以方程表达，
F
{
ψ
z
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ
0
(
x
,
y
)
∗
h
(
x
,
y
)
}
=
F
{
ψ
0
(
x
,
y
)
}
⋅
F
{
h
z
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\psi _{z}(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)*h(x,y)\}={\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x,y)\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{z}(x,y)\}}
其中，
F
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(x,y)\}}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
假设这光学系统是线性系统 ，满足空间不变性 ，即改变波源的位置只会改变衍射图样的位置，不会改变衍射图样的形状。这样，一个有限尺寸波源所产生的衍射图样，可以视为是由其每一个点波源所产生的衍射图样共同线性叠加而形成。
假设这线性系统的线性算子 为
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
G
(
X
,
Y
)
{\displaystyle G(X,Y)}
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
f
(
x
,
y
)
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\{f(x,y)\}}
应用狄拉克δ函数 的数学性质，
G
(
X
,
Y
)
=
L
{
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
y
−
y
′
)
d
x
′
d
y
′
}
{\displaystyle G(X,Y)={\mathcal {L}}\left\{\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y')\delta (x-x')\delta (y-y')\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'\right\}}
将
f
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle f(x',y')}
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
y
−
y
′
)
{\displaystyle \delta (x-x')\delta (y-y')}
权重 系数，应用线性系统的性质，可以将积分式写为
G
(
X
,
Y
)
=
∬
−
∞
∞
f
(
x
′
,
y
′
)
L
{
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
y
−
y
′
)
}
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(X,Y)=\iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }f(x',y'){\mathcal {L}}\{\delta (x-x')\delta (y-y')\}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
由此推论，表现观察屏辐照图案的函数
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
狄拉克δ函数 所做出的响应，因此称为脉冲响应 。[ 12]
定义空间频率
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
K
x
=
d
e
f
k
x
/
z
{\displaystyle K_{x}\ {\stackrel {def}{=}}\ kx/z}
K
y
=
d
e
f
k
y
/
z
{\displaystyle K_{y}\ {\stackrel {def}{=}}\ ky/z}
将横向位移的每一个分量展开，
(
x
−
x
′
)
2
=
x
2
+
x
′
2
−
2
x
x
′
{\displaystyle (x-x')^{2}=x^{2}+x'^{2}-2xx'}
(
y
−
y
′
)
2
=
y
2
+
y
′
2
−
2
y
y
′
{\displaystyle (y-y')^{2}=y^{2}+y'^{2}-2yy'}
则菲涅耳衍射积分式可以以二维傅里叶变换来表达。设定函数
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})}
G
(
K
x
,
K
y
)
=
d
e
f
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
d
e
f
∬
−
∞
∞
g
(
x
′
,
y
′
)
e
−
i
(
K
x
x
′
+
K
y
y
′
)
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle G(K_{x},K_{y})\ {\stackrel {def}{=}}\ {\mathcal {F}}\left\{g(x',y')\right\}\ {\stackrel {def}{=}}\ \iint \limits _{-\infty }^{\ \ \ \infty }g(x',y')e^{-i(K_{x}x'+K_{y}y')}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}
设定函数
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
g
(
x
′
,
y
′
)
=
ψ
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
{\displaystyle g(x',y')=\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}}
菲涅耳衍射积分式表达为
ψ
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
ψ
0
(
x
′
,
y
′
)
e
i
k
(
x
′
2
+
y
′
2
)
/
2
z
}
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
F
{
g
(
x
′
,
y
′
)
}
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
G
(
K
x
,
K
y
)
=
h
z
(
x
,
y
)
G
(
K
x
,
K
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{z}(x,y)&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{\psi _{0}(x',y')e^{ik(x'^{2}+y'^{2})/2z}\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ {\mathcal {F}}\{g(x',y')\}\\&=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\ G(K_{x},K_{y})\\&=h_{z}(x,y)\ G(K_{x},K_{y})\\\end{aligned}}}
； 其中，函数
h
z
(
x
,
y
)
=
−
i
e
i
k
z
λ
z
e
i
k
(
x
2
+
y
2
)
/
2
z
{\displaystyle h_{z}(x,y)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}}
在做实例计算时，先计算
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
K
x
,
K
y
{\displaystyle K_{x},K_{y}}
h
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle h_{z}(x,y)}
ψ
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle \psi _{z}(x,y)}
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle g(x',y')}
线性标准转换 。
原子反射镜示意图，波矢为
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
L
{\displaystyle L}
由于菲涅耳衍射机制，原子波入射于由物质形成的相互平行凸脊阵列，会被镜面反射 。这效应可以用来实现原子反射镜 。[ 13]
^ 杨伯温，《光电工程实验》，第75页。
^ M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press, Cambridge
^ 实际而言，在先前一个步骤里做了一个近似，即假定
e
i
k
r
/
r
{\displaystyle e^{ikr}/r}
亥姆霍兹方程 的解答，而是标量亥姆霍兹方程的解答。请参阅条目标量波近似 （scalar wave approximation）。
^ Gillen, Glen; Guha, Shekhar. Modeling and Propagation of Near-Field Diffraction Patterns: A More Complete Approach . American Journal of Physics. 2004, 72 (8): 1195–1201. ISSN 0002-9505 存档 于2015-12-20）. ^ Bekefi, George; Barrett, Alan, Electromagnetic Vibrations, Waves and Radiations, The MIT Press: pp. 563–567, 1977, ISBN 978-0262520478 ^ Hone-Ene Hwang and Gwo-Huei Yang, Study and improvement of near‐field diffraction limits of circular aperture imaging systems, Journal of the Chinese Institute of Engineers, Vol. 25, No. 3, pp. 335-340 (2002)
^ Karl Dieter Möller, Optics 2nd edtion p136
^ Karl Dieter Möller, Optics, 2nd Ed p174
^ Karl Dieter Möller, Optics, 2nd Ed p. 174
^ M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, Fresnel diffraction at a straight edge p493
^ 叶玉堂、肖峻、饶建珍等编著 《光学教程》 第二版 251页, ISBN 9787302114611
^ Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 529–532, 2002, ISBN 0-8053-8566-5（英语） ^ http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PhysRevLett_94_013203.pdf （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） H. Oberst, D. Kouznetsov, K. Shimizu, J. Fujita, F. Shimizu. Fresnel diffraction mirror for atomic wave, Physical Review Letters , 94 , 013203 (2005).
![{\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b5efb63bb08b6df1a2797505eec3b7b0c9de19)
![{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{8z^{3}\lambda }}\ll 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eeb84a66c3267c3271e92a8f28a20c8bb6ea80)
![{\displaystyle z\gg \left({\frac {\rho ^{4}}{8\lambda }}\right)^{1/3}=\left[{\frac {0.002^{4}}{8\cdot 500\cdot 10^{-9}}}\right]^{1/3}\approx 0.016[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f494abfec5c4acfeac1fa81abb704962594d1e6)
![{\displaystyle \psi (x,y,z)=-\ {\frac {ie^{ikz}}{\lambda z}}\int _{\mathbb {S} }\psi (x',y',0)e^{ik[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]/2z}\ \mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043116bdd1d9468255a5ed42d454e478764cbb2b)
![{\displaystyle Z_{F}={\frac {0.001^{2}}{500\cdot 10^{-9}}}\approx 2[m]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16bdedfb0f1eb2c88ab7c6c0b75d1d8fc576db1)
