法伊特-汤普森定理
在数学里，法伊特-汤普森定理（英语：Feit–Thompson theorem），亦称奇阶定理（英语：Odd order theorem），说明每一个奇阶的有限群都是可解的。该定理由瓦尔特·法伊特和约翰·格里格斯·汤普森证明。
历史
[编辑]威廉·伯恩赛德推测每个非阿贝尔有限单群都会有偶数的阶。理查·布劳尔假定此为真来做为有限单群分类的一个基础，并证明出若一个对合的中心化子为已知的话，则一个有限简单群通常可以被确定。一个奇阶的群没有对合，所以要实行布劳尔的计划，首先必须要证明出非循环有限简单群绝对不会是奇阶的。这和证明出奇阶的群都是可解的是等价的，而这也正是法伊特和汤普森所证明出的。
对伯恩赛德推测的着手证明开始于铃木通夫，他研究著“CA群”──会使得每个非当然元素之中心化子（Centralizer）都是可换（Abelian）的群。在一个前瞻性的论文中，他证明出了所有奇阶的CA群都会是可解的。（他随后将所有的简单CA群做了分类，且更一般性地将其中存在任一个有着正规2-西罗子群之对合中心化子的所有简单群分类，并在此过程中找到了李型单群的一种粗略类型，其现称之为铃木群。）
法伊特、霍尔和汤普森将铃木的成果扩展到了CN群的范围内──其为会使每个非当然元素的中心化子（Centralizer）都是幂零（Nilpotent）的群。他们证明出了每个奇阶的CN群都是可解的。其证明和铃木的证明类似，约有17页的长度，这在当时被认为是在群论的证明中相当长的证明。
法伊特﹣汤普森定理可以被想做是这个过程中的下一个步骤：他们证明出了不存在每个子群都是可解的奇阶非循环单群。这证明出了每个奇阶群都是可解的，以其最小反例必须要有一个能使每个子群都是可解单群。虽然其证明大纲和CA定理与CN定理大体相同，但其细节却复杂的多，最后的论文长达255页。
重要性
[编辑]法伊特﹣汤普森定理说明了，利用对合的中心化子来分类有限简单群是可能的，因为每个非循环简单群都有一个对合。许多在证明中出现的技术，尤其是局部分析的概念，都被进一步发展使用在分类上面。或许其中最具革命性的观念在于此证明的长度：在此论文之前，群论的论述都只是几页而已，而且可以在一天里读完。一旦群论学家了解到了如此长的论述是可行的之后，一连串数百页长的论文便开始出现了。
修正
[编辑]有许多位数学家简化了部分的法伊特﹣汤普森定理证明原本。但这些改进在某些意义之下都只是局部的而已；其论述的整个结构还是一样的，只有一些细节被简化了。
被简化的证明被发表于两本书之中：
- Local Analysis for the Odd Order Theorem （London Mathematical Society Lecture Note Series）
by Helmut Bender, George Glauberman. ISBN 0521457165
- Character Theory for the Odd Order Theorem （London Mathematical Society Lecture Note Series）
by T. Peterfalvi, ISBN 052164660X
这个简化的证明还是同样复杂，且和原本的证明有着大约相同的篇幅（但写法更为谨慎）。
大纲
[编辑]要完全地了解这个证明必须要花费职业的群论学家约一年很努力的时间，所以下面的大纲不可能以太严格的方式来写。除了直接描述法伊特﹣汤普森定理之外，以描述铃木的CA定理且再加注一些需要的延伸的方式会比较简单。这个证明可以分成三步。令G是一个满足CA条件的奇阶单群。
第1步“对群G结构的局部分析”：这在CA条件下是简单的，因为“a和b可换”之关系是一个在非单位元素上的等价关系。所以这些元素可以分成数个等价类，其中的每个等价类都是最大阿贝尔子群内之非单位元素所组成的集合。最大阿贝尔子群的正规化子会是G的最大纯子群。在原本的论文里，最大纯子群的分析花了约100页之多，而不只几行而已，并且产生了5种极复杂的可能结构。
第2步“G的特征理论”：若X是CA群G的最大阿贝尔子群A的一个不可约特征，可以将X导致一个G的特征Y，但不一定会是不可约的。因为G的已知结构，很容易地便可以将于除了单位元之所有G的元素上的Y的特征值找出来。这表示若X1和X2是A的两个特征，且Y1和Y2是其相对应的特征，则
- Y1 − Y2
会是完全可知的，且计算其赋范可证明这在G内两个不可约特征的差。（这有时会被称做是G的例外特征。）在此，将G的一个不可约特征与A的一个不可约特征相连结是有可能的。一个计数的论述表示可以从G的最大阿贝尔子群的不可约特征中得出G的所有不可约特征（除了当然特征之外）。
在法伊特﹣汤普森定理里，由子群的特征中建构出G的特征之论述会远比上述的更为棘手，因为其子群的结构会更为复杂。
第3步：由第2步可以得到对CA群G的特征表的一个完整且精确的描述。由此可以很容易地得出G同时为奇阶及单群的矛盾。
在法伊特﹣汤普森定理里，事情（一般）都会更加极度地复杂。特征理论只排除了第1步中5种可能结构的其中四种。要排除最后一个可能，必须要对产生子和关系使用一些复杂到很恐怖的操作。这一部分被认为是这个证明里最困难且最神秘的一个部分。
对这个定理的更详尽叙述，请见由丹尼尔·葛仑斯坦（Daniel Gorenstein）所著的《有限群》（Finite groups） ISBN 0828403015。
参考文献
[编辑]- Feit, Walter; Thompson, John G., Solvability of groups of odd order （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Pacific Journal of Mathematics, 13:3 1963 775--1029.
- Feit, Walter; Hall, Marshall, Jr.; Thompson, John G., "Finite groups in which the centralizer of any non-identity element is nilpotent", Math. Z. 74 1960 1--17.
- Suzuki, Michio, "The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order", Proceedings of the American Mathematical Society, volume 8 （1957）, 686--695.