在数学中,考克斯特群是一类由空间中对超平面的镜射生成的群。这类群广泛出现于数学的各分支中,二面体群与正多胞体的对称群都是例子;此外,根系对应到的外尔群也是考克斯特群。这类群以数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特命名。
所谓考克斯特群,是一个群
写成如下的表达式,即由满足一些交互关系的生成元生成的群

其中
满足
以及
对所有
。在此
意指
恒不等于单位元。
注意到
;若
,则
。且 m 满足对称性
。
令这组生成元为
。资料
称为考克斯特群。方阵
称为考克斯特矩阵。
有限考克斯特群的分类
设
为考克斯特群,可证明存在一个有限维实矢量空间
及其上的非退化双线性形
(未必正定),使得
同构于正交群
的某个子群。由于
的元素均为二阶,可视之为
中对某些超平面的镜射。
利用
的展示,定义元素的长度如下:对
,定义其长度
为所有表法
中最短的
。由此可导出


- 对称群
是考克斯特群。在此可取
为置换
;关系为
。
- 正多胞体的对称:正多胞体的对称群是有限考克斯特群。举例明之:正多边形的对称群是二面体群,正 n 维单形的对称群是前述的
,又称为
型的考克斯特群。n 维超正方体的对称群为
。正十二面体与正二十面体的对称群是
。在四维空间中,存在三种特别的正多胞体──正二十四胞体、正一百二十胞体与正六百胞体,其对称群分别是
。
可以由某些半正多胞体的对称群得到。
- 仿射外尔群:仿射外尔群是无限群,但带有一个正则阿贝尔子群,使得对应的商群是个外尔群。
一般而言,两个群展示的同构与否是无法判定的。然而对考克斯特群则有一个简单的判准,称为交换条件。可以透过考克斯特-丹金图分类有限考克斯特群。图的构造方式为:
- 每个生成元对应到一个顶点。
- 若
,则顶点
之间有边相连。
- 若
,则将边标上
。
- Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
- Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 档案下载 (页面存档备份,存于互联网档案馆) .
- James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.