稀有多面体

**稀有多面体**
部分的稀有多面体
; D-星形二十面体	; 正十二面体
; 冠状多面体（英语：Toroidal_polyhedron#Crown_polyhedra）	; 小星形十二面体

稀有多面体又称高贵多面体，是指所有面全等且所有顶角等角的多面体，即既是等面图形也是等角图形的多面体。由于多面体在三维空间的复杂性，要能同时满足等面和等角并不容易，因此这些多面体被称为稀有的或高贵的多面体。^[3]除了正多面体外还有不少几何体同时具备等面与等角的特性^[2]。早在在19世纪后期，赫斯和布鲁克纳已经对稀有多面体进行了深度的研究，后来则由格林鲍姆接续研究。^[4]

种类

稀有多面体可以包含下列几种类型的多面体：

所有正多面体都是稀有多面体；
锲形体；^[5]
冠状多面体（英语：Toroidal_polyhedron#Crown_polyhedra）；^[6]
其他多面体还有多少属于稀有多面体，仍未有明确的研究成果，连数量是有限个还是能有无穷多个都还不确定。

若稀有多面体的定义中，允许格林鲍姆提出的一些特殊结构，则稀有多面体能再包含下列两种无限集合的多面体：^[4]

花环多面体（Wreath polyhedra）：具有共享一条边的共面三角形组成的多面体
V-面多面体（V-faced polyhedra）：具有重合顶点组和退化面的多面体

对偶多面体

根据稀有多面体的定义，稀有多面体的对偶多面体仍然为稀有多面体^[3]。部分的稀有多面体是自身对偶的多面体，例如正四面体。^[7]

九种正多面体（帕雷托立体与开普勒－庞索立体）^[2]除了正四面体外其余两两互为对偶多面体。
锲形体在拓朴学上是自身对偶多面体，而在几何学上锲形体和其对偶多面体可以看作是被拉长的四面体以及相对被压缩的四面体。^[2]
冠状多面体（英语：Toroidal_polyhedron#Crown_polyhedra）在拓朴上是自身对偶多面体。^[6]
花环多面体和V-面多面体互为对偶多面体。^[4]

稀有多胞形

稀有多胞形是指所有维面全等且所有顶角等角的多胞形^[3]（既是等维面图形也是等角图形的几何结构）。在三维空间中，稀有多胞形除了包括了上述的稀有多面体外，平面镶嵌和双曲镶嵌也都属于稀有多胞形^[3]。在高维空间中，所有正多胞形都是稀有多胞形，而部分的均匀多胞形（英语：Uniform_polytope）也是稀有多胞形。^[3]

参见

参考文献

^ Klitzing, Richard. noble {9,3} modwrap within srid. bendwavy.org. [2021-10-15].
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 George W. Hart. Polyhedra with Equal Faces and Equal Vertex Figures. Virtual Polyhedra, georgehart.com. 1996 [2021-10-15]. （原始内容存档于2020-02-24）.
^ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 Klitzing, Richard. Noble Polytopes. bendwavy.org. [2021-10-12]. （原始内容存档于2021-08-09）.
^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Grünbaum, B. Are your polyhedra the same as my polyhedra? (PDF). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift (New York: Springer). 2003: 461–488 [2021-10-15]. （原始内容存档 (PDF)于2016-08-03）.
^ Mikloweit, Ulrich; et al. Exploring Noble Polyhedra With the Program Stella4D. Bridges 2020 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2020: 257–264.
^ ^6.0 ^6.1 Grünbaum, Branko, Polyhedra with Hollow Faces, Polytopes: Abstract, Convex and Computational, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series 440, Kluwer Academic Publishers: 43–70, 1994 [2021-10-15], doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, （原始内容存档于2020-07-09） . 尤其见p. 60 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
^ Richard Klitzing. regular tetrahedron: tet. 3D convex uniform polyhedra. bendwavy. [2021-10-15]. （原始内容存档于2021-10-03）.

[bendwavy_noble_{9,3}_modwrap_within_srid-1] Klitzing, Richard. noble {9,3} modwrap within srid. bendwavy.org. [2021-10-15].

[georgehart-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 George W. Hart. Polyhedra with Equal Faces and Equal Vertex Figures. Virtual Polyhedra, georgehart.com. 1996 [2021-10-15]. （原始内容存档于2020-02-24）.

[bendwavy-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 Klitzing, Richard. Noble Polytopes. bendwavy.org. [2021-10-12]. （原始内容存档于2021-08-09）.

[Grünbaum_2003-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Grünbaum, B. Are your polyhedra the same as my polyhedra? (PDF). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift (New York: Springer). 2003: 461–488 [2021-10-15]. （原始内容存档 (PDF)于2016-08-03）.

[mikloweit2020exploring-5] Mikloweit, Ulrich; et al. Exploring Noble Polyhedra With the Program Stella4D. Bridges 2020 Conference Proceedings (Tessellations Publishing). 2020: 257–264.

[Grünbaum_1994-6] 6.0 ^6.1 Grünbaum, Branko, Polyhedra with Hollow Faces, Polytopes: Abstract, Convex and Computational, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series 440, Kluwer Academic Publishers: 43–70, 1994 [2021-10-15], doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, （原始内容存档于2020-07-09） . 尤其见p. 60 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

[bendwavy_regular_tetrahedron-7] Richard Klitzing. regular tetrahedron: tet. 3D convex uniform polyhedra. bendwavy. [2021-10-15]. （原始内容存档于2021-10-03）.

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