在信号处理 中，观察信号的瞬时频率 是很重要的课题。假设一实信号
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)\,}
N
{\displaystyle N\,}
x
(
t
)
=
∑
k
=
1
N
a
k
⋅
e
j
⋅
ϕ
k
(
t
)
{\displaystyle x(t)=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\cdot e^{j\cdot \phi _{k}(t)}}
a
k
{\displaystyle a_{k}\,}
瞬时频率 (以频率表示)
f
k
(
t
)
=
ϕ
k
′
(
t
)
2
π
{\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\phi _{k}^{\prime }(t)}{2\pi }}}
赫兹 )：
f
k
(
t
)
=
ϕ
k
′
(
t
)
2
π
{\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\phi _{k}^{\prime }(t)}{2\pi }}}
角频率 来表示(单位为弧度每秒)：
f
k
(
t
)
=
ϕ
k
′
(
t
)
{\displaystyle f_{k}(t)=\phi _{k}^{\prime }(t)}
直观上，瞬时频率为相位的微分。对于自然界中的实数讯号，如何定义讯号的相位。Gabor提出解析讯号法(Analytic Signal Method)，将实数讯号表示为对应的复数讯号，即可定义复数讯号的大小与相位，将实数讯号的瞬时频率求出。
实数讯号
s
(
t
)
{\displaystyle s\left(t\right)}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
解析函数的极座标表示 瞬时相位 瞬时频率
z
(
t
)
=
s
(
t
)
+
j
π
∫
−
∞
∞
s
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
.
{\displaystyle z(t)=s(t)+{\frac {j}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {s(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .\,}
其中虚数项为实数讯号
s
(
t
)
{\displaystyle s\left(t\right)}
希尔伯特转换 (Hilbert Transform)，将它定义为
s
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {s}}\left(t\right)}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
z
(
t
)
=
s
(
t
)
+
j
s
^
(
t
)
=
m
(
t
)
⋅
e
j
θ
(
t
)
{\displaystyle z(t)=s(t)+j{\widehat {s}}\left(t\right)=m(t)\cdot e^{j\theta (t)}\,}
其中
m
(
t
)
=
s
2
(
t
)
+
s
^
2
(
t
)
{\displaystyle m(t)={\sqrt {s^{2}(t)+{\widehat {s}}^{2}(t)}}}
θ
(
t
)
=
arctan
(
s
^
(
t
)
s
(
t
)
)
{\displaystyle \theta (t)=\arctan \left({{\widehat {s}}(t) \over s(t)}\right)\,}
如果
s
(
t
)
{\displaystyle s\left(t\right)}
黄锷 (Norden E. Huang)博士提出一个有效的算法，将讯号先行分解成具有局部对称之分量，以正确地求得资料的瞬时频率。这个方法称为希尔伯特-黄转换 (Hilbert Huang Transform, HHT)。
以下简单的例子来说明，对于平均值为零的讯号，此瞬时频率的定义才具有物理意义。对于一个弦波讯号
s
(
t
)
{\displaystyle s\left(t\right)}
s
(
t
)
=
β
+
cos
(
t
)
{\displaystyle s\left(t\right)=\beta +\cos {(t)}}
考虑三种情况: (1)
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
0
<
β
<
1
{\displaystyle 0<\beta <1}
β
>
1
{\displaystyle \beta >1}
(1)
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)}
反时针方向 呈线性递增，其图形为斜率1的直线，而瞬时频率是一个常数值。
(2)
0
<
β
<
1
{\displaystyle 0<\beta <1}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
β
{\displaystyle \beta }
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)}
(3)
β
>
1
{\displaystyle \beta >1}
β
{\displaystyle \beta }
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)}
−
π
{\displaystyle -\pi }
2
{\displaystyle 2}
π
{\displaystyle \pi }
2
{\displaystyle 2}
因为在目前许多数位信号处理 的应用上都与信号的频谱或信号的带宽有很大的关系。
调变(modulation)
多工方式(multiplexing)
滤波器的设计(filter design)
信号压缩(data compression)
信号分析(signal analysis)
信号辨识(signal identification)
语音信号处理(acoustical signal processing)
制作系统的模型(system modling)
雷达系统的分析(rader system analysis)
取样(sampling) 当瞬时频率为常数即
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)\,}
傅里叶变换 做信号分析。傅里叶变换 中是无法观察出信号频谱随着时间改变的变化。傅里叶变换 做信号分析。
当瞬时频率不为常数即
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)\,}
时频分析 做信号分析。时频分析 可观察出信号频率随着时间变化的改，这是傅里叶变换 无法做到的。时频分析 做信号分析，如下图，可以确切地观察到信号瞬时频率的变化。
x
(
t
)
=
{
c
o
s
(
π
t
)
t
≤
10
c
o
s
(
3
π
t
)
10
<
t
≤
20
c
o
s
(
2
π
t
)
t
>
20
{\displaystyle x(t)={\begin{cases}cos(\pi t)\ \ \ t\leq 10\\cos(3\pi t)\ \ \ 10<t\leq 20\ \ \ \\cos(2\pi t)\ \ \ t>20\end{cases}}}
当信号只有一个成分，且曲线是周期性的，具有固定的振幅、频率和相，可以使用希尔伯特转换，计算信号的相位求瞬时频率。
瞬时频率
=
1
2
π
d
d
t
θ
,
θ
=
t
a
n
−
1
x
H
(
t
)
x
(
t
)
{\displaystyle \,={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\theta ,\quad \theta =tan^{-1}{\frac {x_{H}(t)}{x_{(}t)}}}
x
H
(
t
)
=
1
π
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
{\displaystyle x_{H}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}d\tau \,}
举例:
c
o
s
(
2
π
f
t
)
→
H
i
l
b
e
r
t
s
i
n
(
2
π
f
t
)
{\displaystyle cos(2\pi ft)\;\xrightarrow {Hilbert} \;sin(2\pi ft)}
θ
=
t
a
n
−
1
(
t
a
n
(
2
π
f
t
)
)
=
2
π
f
t
{\displaystyle \theta =tan^{-1}(tan(2\pi ft))=2\pi ft}
1
2
π
d
d
t
θ
=
f
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\theta =f}
当信号为复数函数、非sinusoid曲线、有多个成分或
θ
{\displaystyle \theta }
1. 使用经验模态分解 (EMD) 将信号分解为一系列本征模态函数 (IMFs）的振荡模态和趋势
2. 对每个IMF算瞬时频率:
使用Hilbert transform
计算STFT，瞬时频率 =
number of zero-crossings between
t
−
B
and
t
+
B
4
B
{\displaystyle {\frac {{\text{number of zero-crossings between}}\;t-B\;{\text{and}}\;t+B}{4B}}}
直接计算零交叉，零交叉 =
number of periods
2
{\displaystyle {\frac {\text{number of periods}}{2}}}
Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
Leon Coen, Time-Frequency Analysis, Prentice Hall, 1995.
陈韦佑, "以希尔伯特-黄转换法为GPS接收机抑制调频干扰", 国立台湾大学电机工程研究所硕士论文, 2007. 
