概率公理(英语:Probability axioms)是概率论的公理,任何事件发生的概率的定义均满足概率公理。因其提出者为安德烈·柯尔莫果洛夫,也被称为柯尔莫果洛夫公理(Kolmogorov axioms)。
某个事件
的概率
是定义在“全体”(universe)或者所有可能基础事件的样本空间
时,概率
必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。
也可以说,概率可以被解释为定义在样本空间的子集的σ代数上的一个测度,那些子集为事件,使得所有集的测度为
。这个性质很重要,因为这里提出条件概率的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率:
![{\displaystyle P(B\vert A)={P(B\cap A) \over P(A)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f73ce50eddc7fc97d92a4853e7d74a6b1d93f67)
通常读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同,
,则称A与B互相独立。
当样本空间是有限或者可数无限时,概率函数也可以以基本事件
定义它的值,这里
。
假设有一个基础集
,其子集的集合
为σ代数,和一个给
的元素指定一个实数的函数
。
的元素,称为“事件”。
- 对于任意一个集合
, 即对于任意的事件
。
即,任一事件的概率都可以用
到
区间上的一个实数来表示。
。
即,整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说,在样本集合之外已经不存在基本事件了。
这在一些错误的概率计算中经常被小看;如果你不能准确地定义整个样本集合,那么任意子集的概率也不可能被定义。
- 任意两两不相交事件
的可数序列满足
。
即,不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠,这一关系不成立。
如想通过代数了解柯尔莫果洛夫的方法,请参照随机变量代数。
又发展成Boole不等式,证明时常使用此公式:
。
从柯尔莫果洛夫公理可以推导出另外一些对计算概率有用的法则。
,
,
- 概率论
- 频率概率
- 人位概率(personal probability)
- 主观概率(subjective probability)
- 折衷概率(eclectic probability)
- 统计恒性(statistical regularity)