模糊集是模糊数学上的一个基本概念,是数学上普通集合的扩展。
给定一个论域
,那么从
到单位区间
的一个映射
称为
上的一个模糊集,或
的一个模糊子集[1]。
模糊集可以记为
。映射(函数)
或简记为
叫做模糊集
的隶属函数。对于每个
,
叫做元素
对模糊集
的隶属度。
模糊集的常用表示法有下述几种:
- 解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。
- Zadeh记法,例如
。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。
- 序偶法,例如
,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。
- 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如
。
和传统的集合一样,模糊集也有它的元素,但可以谈论每个元素属于该模糊集的程度,其从低至高一般用 0 到 1 之间的数来表示。模糊集理论是由卢菲特·泽德(1965)所引进的,是经典集合论的一种推广[2]。在经典的集合论中,所谓的二分条件规定每个元素只能属于或不属于某个集合(因此模糊集不是集合);可以说,每个元素对每个集合的归属性(membership)都只能是 0 或 1。而每模糊集则拥有一个归属函数(membership function),其值允许取闭区间
(单位区间)中的任何实数,用来表示元素对该集的归属程度。比如设某模糊集
的归属函数为
,而
、
、
为三个元素;如果
,
,
,则可以说 “
完全属于
”,“
完全不属于
”,“
对
的归属度为
”(注意没有说“
有一半属于
”,因为尚未规定
的归属度具有什么特殊含义)。作为特例,当归属函数的值只能取 0 或 1 时,就得到了传统集合论常用的指示函数(indicator function)[3]。传统集合在模糊集理论中通常称作“明确集”(crisp set)。
设
为
上的模糊集(记作
),任取
,则
,
称
为
的
截集,而
称为阈值或置信水平。将上式中的
替换为
,记为
,称为强截集。
截集和强截集都是经典集合。此外,显然
为
的核,即
;如果
,则称
为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。
截积是数与模糊集的积:
设
,
,则
,
与
的截积(或称为
截集的数乘,记为
)定义为:
![{\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c2b3260bd87b2d7a179708fe36e791498078e3)
根据定义,截积仍是
上的模糊集合。
分解定理:
设
,则
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f80a983d56126a1477e8e68eec5580845cfa09)
即任一模糊集
都可以表达为一族简单模糊集
的并。也即,一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。
表现定理:
设
为
上的任何一个集合套,则
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2d1db5dc7e0efda1441250e7dec31989caa35f)
是
上的一个模糊集,且
,有
(1)
(2)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。
一个模糊集
的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度,一个直观的定义是这样的:
设映射
满足下述5条性质:
- 清晰性:
当且仅当
。(经典集的模糊度恒为0。)
- 模糊性:
当且仅当
有
。(隶属度都为0.5的模糊集最模糊。)
- 单调性:
,若
,或者
,则
。
- 对称性:
,有
。(补集的模糊度相等。)
- 可加性:
。
则称
是定义在
上的模糊度函数,而
为模糊集
的模糊度。
可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[4],一个常用的公式(分别针对有限和无限论域)就是
![{\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f8760ed8433a1dff938fde977d0ddff7556001)
其中
是参数,称为 Minkowski 模糊度。特别地,当
的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标,当
的时候称为 Euclid 模糊度。
是舆集
的一种。
用
函数定义
,包含下列3项特性称为模糊测度:
①
---
函数代0值,表示没有值为空值,用数学0来表示。
函数代
表示舆集全部带进去了塞满了,用1表示塞满。
②若
和
, 则
.
---
是属于
的一部分,
在
里面也可能跟
一样大,则
③If
∈
,
⊆
⊆…,then
---当
属于
同时
包含于
,则将
代入
函数趋小所得的值等同于先趋小
再代入
函数所求得的值。
模糊量测(measures of fuzziness)
[编辑]
- Zadeh 算子,
即为并,
即为交
- Hamacher 算子,其中
是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子
- Yager 算子,其中
是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
算子,其中
是参数
- Dobois-Prade 算子,其中
是参数
参见集合代数和布尔代数。
主要算子的性质对比表如下(.
表示不满足,-
表示未验证):
算子 |
结合律 |
交换律 |
分配律 |
互补律 |
同一律 |
幂等律 |
支配律 |
吸收律 |
双重否定律 |
德·摩根律
|
Zedah
|
√ |
√ |
√ |
. |
√ |
√ |
√ |
√ |
√ |
√
|
代数
|
√ |
√ |
. |
. |
√ |
. |
√ |
. |
- |
√
|
有界
|
√ |
√ |
. |
√ |
√ |
. |
√ |
√ |
- |
√
|
线性补偿是指:
[5]
算子的并运算 |
幂等律 |
排中律 |
分配律 |
结合律 |
线性补偿
|
Zadeh
|
√ |
. |
√ |
√ |
.
|
代数
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
有界
|
. |
√ |
. |
. |
√
|
Hamacher r = 0
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
Yager
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
Hamacher
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
Dobois-Prade
|
. |
. |
. |
√ |
.
|
可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上,我们需要在模糊幂集
上建立一个度量,此外,我们还可能需要将此度量标准化,也即映射到
区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离:
![{\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d1e107451ec814fcc0d8721c823cc99e5762bb)
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。
除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e3d40cdbeb41dee51ab8832f5ff6fea7fb9c7c)
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3954f62f36f2883784eee96ac4127392c7993cd4)
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04445764d4909c63c362af6818b02536639fd6a)
![{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74774067799d9349007fbdec6cdd64f8703cae88)
- ^ 要注意,严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
- ^ L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 互联网档案馆的存档,存档日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353.
- ^ D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
- ^ 陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。
- ^ Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。