事件 (概率论)

在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是一个被赋与概率的事物集合，也就是样本空间中的一个子集。简单来说，在一次随机试验中，某个特定事件可能出现也有可能不出现；但当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。基本上，只要样本空间是有限的，则在样本空间内的任何一个子集合，都可以被称为是一个事件。然而，当样本空间是无限的时候，特别是不可数之时，就常常不能定义所有的子集为随机事件了。因此，为了定义一个概率空间，常常需要去掉样本空间的某些子集，规定他们不能成为事件。

例子

假设我们有一堆52张的扑克牌，并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌，那么用概率论的术语来说，我们实际上是在做一个随机试验。这时，我们的样本空间是一个有着52个元素的集合，因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机事件，则是这个样本空间的任意一个子集（这个任意子集包括空集，一个元素的集合及多个元素的集合）。运用组合知识可以知道，随机事件一共有 $2^{52}$ 种。当这个事件仅仅包括样本空间的一个元素（或者说它是一个单元素集合）的时候，称这个事件为一个基本事件。比如说事件“抽到的牌是黑桃7”。当事件是空集时，称这个事件为不可能事件。当事件是全集时，则称事件是必然事件。其它还有各种各样的事件，比如：

“抽到的牌是鬼牌”（也是不可能事件）
“抽到的牌是红桃3”（基本事件）
“抽到的牌数字是9”（包含4个元素）
“抽到的牌是方块”（包含13个元素）
“抽到的牌是红颜色的并且数字小于等于10”（包含20个元素）
“抽到的牌不是红桃3”（包含51个元素）

由于事件是样本空间的子集，所以也可以写成集合的形式。有时候写成集合的形式可能会很困难。有时候也可以用文氏图来表示事件，这时可以用事件所代表图形的面积来按比例显示事件的概率。

事件与概率空间

当样本空间有限，试验中每个基本事件发生的可能性相同的时候，称为古典概型。这时可以（也是一般用到的）取样本空间的所有的子集作为事件。然而，当样本空间不是有限的时候，特别是当样本空间是实数的时候，就不能取所有的子集作为事件了。其中的根本原因在于概率的定义。一般来说，当研究一个随机事件的时候，我们希望知道它发生的概率。事件发生的概率是一个介于0和1之间的数。当样本空间是不可数的时候，如果我们取样本空间所有的子集，那么概率论的公理系统会产生数学上的矛盾，也就是说，会有一些子集无法被定义概率。具体地说，概率论的公理系统是由三个部分 $(\Sigma ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ 组成的，又称为概率空间。这个空间包括：样本空间 $\Sigma$ 、事件集合 ${\mathcal {F}}$ （又称为事件体）以及定义在这上面的一个取概率的运算： $\mathbb {P}$ 。其中的事件集合 ${\mathcal {F}}$ 是一个σ-代数，而取概率的运算 $\mathbb {P}$ 需要满足概率的加法公理（σ-Additive）：

如果一系列事件

A_{1},A_{2},\cdots

两两互斥（也就是说对任意的

i,j

，

A_{i}\cap A_{j}

都是空集。此亦称为pairwise disjoint）那么就有：

\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A_{i})

这个公理是符合一般人的直觉的：如果几件事情互相之间相互排斥，那么“它们几个中有一个发生”的概率应该等于其中每一个发生的概率的和。

然而，对于不可数的样本空间，如果选全部的子集作为事件的话，会有一些子集，无论怎样为他们定义概率，都会违反加法公理。^[1]

一个反例

假设小明和小华玩一个游戏，让小华随意说一个0到1之间的实数。小明为了研究概率，选择了所有[0,1]的子集作为概率集合。他将所有的0到1之间的有理数取出来。由于0到1之间的有理数是可数集合，所以可以做标号： $q_{1},q_{2},\cdots$ 。对于每一个0到1之间的实数 $a$ ，小明将 $a+q_{1},a+q_{2},\cdots$ 作为一个集合，如果其中有大于1的，就减去1。这个集合是由可数个数构成的，小明把它记作 $S_{a}$ 。构造多个这样的集合 $S_{a}$ 满足其并集是区间[0,1]，且它们之间两两不相交。然后将每个 $S_{a}$ 写成：

S_{a}=s_{a,1},s_{a,2},\cdots

再令：

T_{1}=

遍历所有

S_{a}

集合中的

s_{a,1}

所构成的集合。

T_{2}=

遍历所有

S_{a}

集合中的

s_{a,2}

所构成的集合。

如此等等，

那么所得到的事件（也就是集合） $T_{1},T_{2},\cdots$ 的并集也是区间[0,1]，而且它们之间两两不相交。由于这些事件之间地位相等，所以它们的概率 $\mathbb {P} (T_{n})$ 都是一样的。如果 $\mathbb {P} (T_{n})>0$ ，那么根据加法原则，

1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{1})=+\infty

而如果 $\mathbb {P} (T_{n})=0$ ，那么根据加法原则，仍然有：

1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=0+0+\cdots =0

因此无论如何，都会导致矛盾。也就是说小明无法为事件 $T_{1}$ 定出一个概率。在一般的测度理论中，这种集合称为（勒贝格）不可测集合。^[2]

事件之间的关系

两个随机事件之间可以有各种各样的关系。

包含关系：通常用符号 $\subset$ 表示。一个事件 $A$ 包含另一个事件 $B$ 记作： $B\subset A$ 。这时只要事件 $B$ 发生，那么事件 $A$ 也一定发生。这个关系其实就是集合论中的包含关系。举之前扑克牌的例子来说，假设事件 $A$ 是“抽出的牌上数字是8”，事件 $B$ 是“抽出的牌是梅花8”，那么事件 $A$ 包含事件 $B$ ：只要抽出的是梅花8，牌上的数字自然就是8。

等价关系：两个事件对应的子集完全相等，记作 $A=B$ 。例子：事件“抽出的牌花色是黑桃并且数字比3小并且数字是偶数”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等价的。

对立关系：两个事件只能有一个发生，并且必然有一个发生，则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。

互斥关系：两个事件只能有一个发生，但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。

独立事件

如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，那么就称这两个事件是相互独立的。比如说，“抽到的牌是红桃”和“抽到的牌数字是4”就是相互独立的，因为两者同时发生——抽到的牌是红桃4——的概率是52分之1，而“抽到的牌是红桃”的概率是4分之1，“抽到的牌数字是4”的概率是13分之1，两者相乘便是52分之1。