施瓦茨-米尔诺引理

施瓦茨－米尔诺（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor^[1]）引理，是数学上的一个结果，给出了群和在度量空间上的群作用的关系。阿尔伯特·施瓦茨首先发现这个结果，十数年后约翰·米尔诺重新发现。这条引理有时称为几何群论基本定理。^[2]有了这条引理，就可以由度量空间的几何性质，来研究群的性质。

定义

设X为一个度量空间。如果X每两点都有测地线相连，就称X为测地的。

如果X中每一个闭球都是紧致集，就称X为常态的。考虑X中从某点 $x'$ 量度距离的函数 $d_{x'}:X\to [0,\infty )$

d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')

那么闭球 ${\overline {B(x',a)}}$ 是紧致区间[0,a]在 $d_{x'}$ 下的原像。因此，闭球都是紧致集这个条件，便等价于所有形如 $d_{x'}$ 的距离函数都是常态映射。这就是称度量空间X为常态的原因。

一个群G在X上的群作用称为真不连续的，如果对每个紧致集 $K\subset X$ ，G中只有有限个元素g，使得 $g\cdot K\cap K\neq \varnothing$ 。这个群作用称为余紧的，如果存在一个紧致集 $K'\subset X$ ，使得 $G\cdot K'=X$ 。

引理叙述

设X为一个常态测地度量空间。如果一个群G以等距映射真不连续地、余紧地作用在X上，那么G是有限生成群。而且G中用一个有限生成集合S赋予G以字度量后，和X拟等距同构；对于X的任何一点 $x_{0}$ ，映射 $g\mapsto g\cdot x_{0}$ 都是从G到X的拟等距映射。

证明

G中任何有限生成集合所对应的字度量，都是拟等距同构。故此只需找到一个有限生成集合S，证明在G上取对应S的字度量后，和X是拟等距同构即可。

选定 $x_{0}\in X$ 。因为群作用是余紧的，存在 $r>0$ ，使得 $B(x_{0},r)$ 在G的作用下覆盖X。

取G的一个子集

S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}

G的元素g若在子集S内，则有

g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing

X是常态度量空间，故 ${\overline {B(x_{0},r+1/2)}}$ 是紧致集，又因群作用是真不连续的，所以这样的g仅有有限个。因此S是有限集。

对G中任何非平凡元素g，有一条测地线段连接两点 $x_{0}$ 和 $g\cdot x_{0}$ 。设k为整数，符合

k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1

在这条测地线段上取点 $x_{j}$ ，j=1,..., k+1，满足 $d_{X}(x_{j-1},x_{j})\leq 1$ 。

对每一点 $x_{j}$ ，都存在G中的元素 $g_{j}$ ，使得 $x_{j}\in g_{j}\cdot B(x_{0},r)$ 。可指定 $g_{0}=e$ , $g_{k+1}=g$ 。如果 $g_{j-1}\neq g_{j}$ ，则有 $g_{j-1}^{-1}g_{j}\in S$ ，因为