复活节的计算

一个来自瑞典的表，用来计算1140年至1671年的复活节日期

复活节的计算（computus，拉丁文“计算”之意），其规则是复活节的日期是在3月21日当日或之后的满月日后的首个星期日。天主教会设计了方法去定一个“天主教的月”，而不像犹太人般观察真正的月亮。

历史

主条目：复活节日期争论

基督教在二世纪开始，出现两个纪念耶稣复活的日期：东方的小亚细亚教会，遵循耶稣的使徒的遗传，于是在犹太人的逾越节，即是犹太历尼散月十四日，纪念耶稣的受难和复活，表明逾越节羔羊预表耶稣（哥林多前书5:7）。至于以罗马教会为代表的西方教会，就在逾越节后的星期日纪念耶稣的复活。从二世纪后期开始，这项分歧引致教会间很大纷争。后来在325年第一次尼西亚会议，决定不按犹太历法，而按照春分月圆，自行计算出复活节日期（但是所谓“春分”是固定于西历3月21日）。此后教会为了定出从西历计算月亮周期的方法，不依赖于天文观察，各地先后提出多种方法，历时数个世纪，才定出各地教会共用的计算表册和方法。

理论

由于犹太历是阴历，基督教会舍弃依从犹太历的传统时，便造出自己的阴历取代。每29或30日合为一个阴历月（如果包含2月29日则有31日），在3月结束的阴历月有30日，在4月结束者有29日，如此长短相间。12个阴历月比阳历年短11日，两者的差距称为闰余（epact），阳历日期加上闰余得出阴历月的日期。闰余每年增加11日，达到30日或以上则减去30，设一个30日的闰月。每19年的默冬周期应刚好等于235个阴历月，闰余应以19年为一周期，但是19年的闰余累积为29日，于是在儒略历中将最后一年7月1日开始的阴历月由本来30日减去1日，又在19年中加入7个各30日的闰月，分别开始于在第2年12月3日，第5年9月2日，第8年3月6日，第10年12月4日，第13年11月2日，第16年8月2日，第19年3月5日。一年在默冬周期中的位置称为黄金数，算式是年份除以19的余数加1。阴历月第14日定为形式上的望日。望日在3月21日或之后的第一个阴历月是复活节月，复活节是此阴历月第14日之后第一个周日。

表列法

格里历

由于1582年格里历改革主要原因，在于当时的复活节计算法已远离真正的春分和满月，在推出新历法时也推行了新的复活节计算法。将全年365日列出，再用递减的罗马数字标记各日，1月1日标记为“*”（0或30），1月2日为“xxix”（29），直到“i”，然后再重复至年末，但每偶数周期只有29日，需将标记为“xxv”的日子也标为“xxiv”。最后每个30日周期中将标记为“xxv”的日子加上标记“25”，每个29日周期中将标为“xxvi”的日子加上标记“25”。然后用“A”至“G”为每日标记，一年第一个周日的字母是这年的主日字母，例如如果1月5日是星期日，这年的主日字母是“E”，但是闰年有两个主日字母，第一个是1至2月，第二个（提前一字母）是3月以后。每个阴历月的朔日是和闰余相同的罗马数字日子。然而，由于默冬周期中，相隔11年的两个年份闰余相差1日，如果这两年闰余分别是24和25，那么这两年的朔日都会一样，显得不太优美，因此黄金数大于11而闰余是25的年份，朔日改在标记为“25”的日子。格里历每400年减去3个闰年，但是为免影响默冬周期，因此这三年将闰余减1以修正（solar equation，equation按古代意思解作修正差异）；不过，19个未改正的儒略年比235个朔望月略长，每310年差距累积到一日，故此每2500（格里）年中，须8次将闰余加1以修正（lunar equation），修正在世纪年进行，每两次修正相隔300年，但每8次修正后隔400年再开始，第一次在1800年，下一次在2100年。这两种修正有时互相抵消，如1800年和2100年即是。格里历改革后黄金数方法被闰余方法取代，但可以编制出两者关系的简化表格，有效期由一至三个世纪不等。以下的闰余表对1900年至2199年适用。黄金数的算法为年份除以19的余数再加1，如2014年除以19的余数为0，故此2014黄金数是1。

黄金数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
闰余	29	10	21	2	13	24	5	16	27	8	19	*	11	22	3	14	25	6	17

格里历完整的5,700,000年周期复活节日期的分布

标记	3月	主日字母	4月	主日字母
*	1	D
xxix	2	E	1	G
xxviii	3	F	2	A
xxvii	4	G	3	B
xxvi	5	A	4	C
25	6	B
xxv			5	D
xxiv	7	C
xxiii	8	D	6	E
xxii	9	E	7	F
xxi	10	F	8	G
xx	11	G	9	A
xix	12	A	10	B
xviii	13	B	11	C
xvii	14	C	12	D
xvi	15	D	13	E
xv	16	E	14	F
xiv	17	F	15	G
xiii	18	G	16	A
xii	19	A	17	B
xi	20	B	18	C
x	21	C	19	D
ix	22	D	20	E
viii	23	E	21	F
vii	24	F	22	G
vi	25	G	23	A
v	26	A	24	B
iv	27	B	25	C
iii	28	C	26	D
ii	29	D	27	E
i	30	E	28	F
*	31	F	29	G
xxix			30	A

举例：2019年黄金数是6，闰余是24，则标记为“xxiv”日子是朔日，3月7日和4月5日为朔日，而望日为朔日的13日后，即3月20日和4月18日。3月21日或之后的望日是4月18日。这一日之后（不包括当日）的周日是复活节。2019年的主日字母是“F”，所以4月21日是复活节。

第偶数个阴历月只有29日，有一日需有两个闰余标记，而选择移动“xxv/25”的理由可能是：在闰余为24的年份，如果3月7日开始的阴历月有30日，复活节月便在4月6日开始，望日在4月19日，又假设该日是周日，复活节便在下周日4月26日。但是教会规定复活节不晚于4月25日，所以4月5日便有两个标记“xxv”“xxiv”。因此格里历中复活节最多出现在4月19日，约3.87%，最少出现在3月22日，约0.48%。

儒略历

格里历改革前西方教会使用的方法，也是东方正教会现今使用的方法，采用未改正的默冬周期，每周期开始闰余都是0日，因此复活节望日只可能有19个。因为儒略历不作出像格里历的改正，每过一千年，教会阴历的望日日期会比实际的望日推迟三日多，故此现时约有一半东正教的复活节比西方教会晚了一周。又由于儒略历在1900年至2099年间比格里历落后13日，格里历的复活节望日不时在儒略历3月21日之前，使东正教的复活节比西方教会晚了四至五周。

各地教会从4世纪开始渐渐采用此方法，931年最后一个英格兰修道院也采用。在采用此方法前各地用其他方法定出复活节日期，相差可以达至五周。

下表是自从931年起儒略历的复活节望日日期：

黄金数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
复活节望日	4月5日	3月25日	4月13日	4月2日	3月22日	4月10日	3月30日	4月18日	4月7日	3月27日	4月15日	4月4日	3月24日	4月12日	4月1日	3月21日	4月9日	3月29日	4月17日

例子：1573年的黄金数是16，查表得到复活节望日是3月21日。从星期表得到该日是周六，因此复活节是其后的周日3月22日。

算法

高斯算法

这个方法由以数学家高斯命名。

用Y表示年份，mod运算指整数除法的余数（例如13 mod 5 = 3，详细请参见同余）。

东正教会所用的儒略历取M=15,N=6，西方教会所用的公历的取法参见下表：

  年份      M   N
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0

• a = Y mod 19
• b = Y mod 4
• c = Y mod 7
• d = (19a + M) mod 30
• e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7

若d+e < 10则复活节在3月(d+e+22)日，反则在4月(d+e-9)日，除了两个特殊情况：

• 若公式算出的日期是4月26日，复活节在4月19日；
• 若公式算出的日期是4月25日，同时d=28、e=6和a>10，复活节应在4月18日。

Meeus/Jones/Butcher算法（公历）

Jean Meeus在他的书《天文算法》（Astronomical Algorithms，1991年）记载了这个计算公历中的复活节日期的方法，并指这个方法是来自Spencer Jones的书《一般天文学》（General Astronomy，1922年）和《英国天文学会期刊》（Journal of the Brithish Astronomical Association，1977年），后者指方法是来自Butcher's Ecclesiastical Calendar（1876年）。

这个方法的优点是不用任何表也没有例外的情况。注意这里用的是整数除法，7/2=3非3.5。

	Worked Example Year(Y) = 1961	Worked Example Year(Y) = 2000
a = Y mod 19	1961 mod 19 = 4	2000 mod 19 = 5
b = Y / 100	1961 / 100 = 19	2000 / 100 = 20
c = Y mod 100	1961 mod 100 = 61	2000 mod 100 = 0
d = b / 4	19 / 4 = 4	20 / 4 = 5
e = b mod 4	19 mod 4 = 3	20 mod 4 = 0
f = (b + 8) / 25	(19 + 8) / 25 = 1	(20 + 8) / 25 = 1
g = (b - f + 1) / 3	(19 - 1 + 1) / 3 = 6	(20 - 1 + 1) / 3 = 6
h = (19 * a + b - d - g + 15) mod 30	(19 * 4 + 19 - 4 - 6 + 15) mod 30 = 10	(19 * 5 + 20 - 5 - 6 + 15) mod 30 = 29
i = c / 4	61 / 4 = 15	0 / 4 = 0
k = c mod 4	61 mod 4 = 1	0 mod 4 = 0
l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) mod 7	(32 + 2 * 3 + 2 * 15 - 10 - 1) mod 7 = 1	(32 + 2 * 0 + 2 * 0 - 29 - 0) mod 7 = 3
m = (a + 11 * h + 22 * l) / 451	(4 + 11 * 10 + 22 * 1) / 451 = 0	(5 + 11 * 29 + 22 * 3) / 451 = 0
month = (h + l - 7 * m + 114) / 31	(10 + 1 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April)	(29 + 3 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April)
day = ((h + l - 7 * m + 114) mod 31) + 1	(10 + 1 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 2	(29 + 3 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 23
	1961年4月2日	2000年4月23日

Meeus算法（儒略历）

在《天文算法》，使用了以下公式计算儒略历中的复活节日期：（注意这里用的是整数除法，7/2=3非3.5。）

• a = Y mod 4
• b = Y mod 7
• c = Y mod 19
• d = (19*c + 15) mod 30
• e = (2*a + 4*b - d + 34) mod 7
• 月 = (d+e+114) / 31
• 日 = ((d+e+114) mod 31) + 1