一个双射函数
数学中,一个由集合
映射至集合
的函数,若对每一在
内的
,存在唯一一个在
内的
与其对应,且对每一在
内的
,存在唯一一个在
内的
与其对应,则此函数为双射函数。
换句话说,如果其为两集合间的一一对应,则
是双射的。即,同时为单射和满射。
例如,由整数集合
至
的函数
,其将每一个整数
连结至整数
,这是一个双射函数;再看一个例子,函数
,其将每一对实数
连结至
,这也是个双射函数。
一双射函数亦简称为双射(英语:bijection)或置换。后者一般较常使用在
时。以由
至
的所有双射组成的集合标记为
。
双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色,如在同构的定义(以及如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。
一函数
为双射的当且仅当其逆关系
也是个函数。在这情况,
也会是双射函数。
两个双射函数
及
的复合函数
亦为双射函数。其反函数为
。
一个复合所得的双射,左侧为单射,右侧为满射。
另一方面,若
为双射的,可知
是单射的且
是满射的,但也仅限于此。
一由
至
的关系
为双射函数当且仅当存在另一由
至
的关系
,使得
为
上的恒等函数,且
为
上的恒等函数。必然地,此两个集合会有相同的势。
若
和
为有限集合,则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实,在公理集合论里,这正是“相同元素个数”的定义,且广义化至无限集合,并导致了基数的概念,用以分辨无限集合的不同大小。
- 对任一集合
,其恒等函数为双射函数。
- 函数
,其形式为
,是双射的,因为对任一
,存在一唯一
使得
。
- 指数函数
,其形式为
,不是双射的:因为不存在一
内的
使得
,故
非为双射。但若其陪域改成正实数
,则
便是双射的了;其反函数为自然对数函数
。
- 函数
:
,其形式为
,不是双射的:因为
,故
非为双射。但如果把定义域也改成
,则
便是双射的了;其反函数为正平方根函数。
不是双射函数,因为
和
都在其定义域里且都映射至
。
不是双射函数,因为
和2
都在其定义域里且都映射至
。
- 一由实数
至
的函数
是双射的,当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
- 设
为一集合,则由
至其本身的双射函数,加上其复合函数“
”的运算,会形成一个群,即为
的对称群,其标记为
、
或
。
- 取一定义域的子集
及一陪域的子集
,则
且
。
- 若
和
为具相同势的有限集合,且
,则下列三种说法是等价的:
为一双射函数。
为一满射函数。
为一单射函数。
- 一个严格的单调函数是双射函数,但双射函数不一定是单调函数(例如
)。
形式上,双射函数恰好是集合范畴内的同构。
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