覆盖 (拓扑学)

在数学中，若 $X$ 是一个集合类 $C$ 中并集的子集，则集合类 $C$ 是集合 $X$ 的覆盖。用符号来说，如果 $C=\lbrace U_{\alpha }\rbrace _{\alpha \in A}$ 是 $X$ 的子集索引族，则 $C$ 是如下条件下的覆盖（定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19页或 Kelly 第49页）

$X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$。

更一般的说，如果 $Y$ 是 $X$ 的子集，而 $C$ 是 $X$ 的子集 $U_{\alpha }$ 的搜集，它的并集包含 $Y$，则 $C$ 被称为是 $Y$ 的覆盖。也就是 $C$ 是 $Y$ 的覆盖如果

$\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq Y$ 。

拓扑学中覆盖

覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合 $X$ 是拓扑空间，我们称 $C$ 是开覆盖，如果它的每个成员都是开集（就是说每个 $U_{\alpha }$ 都包含在 $T$ 中，这里的 $T$ 是 $X$ 上的拓扑）。

如果 $C$ 是 $X$ 的覆盖，则 $C$ 的子覆盖是 $C$ 的仍覆盖 $X$ 的子集。

$X$ 的开覆盖被称为是局部有限的，如果对任意 $X$ 的点$x$ 都存在一个邻域，其只与这个覆盖中有限多个集合有交集。用符号来说，$C=\{U_{\alpha }\}$ 是局部有限的，如果对于任何 $x\in X$，存在某个 $x$ 的邻域 $N\left(x\right)$ 使得集合

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \emptyset \right\}$

是有限的。

精细

$X$ 的覆盖 $C$ 的精细（或称加细）是 $X$ 的新覆盖 $D$ ，使得在 $D$ 中的任意的一个集合，都包含在 $C$ 的某个集合中。

用符号来说，有 覆盖 $D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}$ 、 $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ ，如果对任意的 $V_{\beta }$ ，都存在某个 $U_{\alpha }$ 使得 $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$，我们则说 $D$ 是覆盖 $C$ 的精细。

所有子覆盖也是精细，反之不然。但是注意一般的说精细将比原始覆盖有更多的集合。

紧致性

覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

• 紧致的，如果所有开覆盖有有限子覆盖。
• 林德勒夫的，如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
• 元紧致的，如果所有开覆盖都有一个点有有限开精细。
• 仿紧致的，如果所有开覆盖允许局部有限、精细。

引用

1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 （英语）.