多连立方体
多连立方体是由一个或是多个立方体互相连结组成的几何形状；也是平面多连方块（也称多格骨牌或四角系统）的三维版本。多连立方体的应用有索马立方跟贝德兰姆立方的组合问题等[1]。
多连立方体的列举
[编辑]像平面多方块组合一样，多连立方体的列举方式有两种，分成考虑镜对称与不考虑镜对称两种计算方式。例如，6个四连立方体具有镜像对称性，一个是手性的，所以考虑镜对称有7种、不考虑镜对称则有8种四连立方体。[2]多连立方体计算镜射的方式与多格骨牌不同，因为多格骨牌可以将其翻转过来形成镜射像，而多连立方体不能。尤其是在索马立方就包含了两种形式的手性四连立方体。
多连立方体可根据它们由多少个立方体单元组成进行分类：[3]
| n | 多连立方体的名称 | 不考虑镜对称 | 考虑镜对称 |
|---|---|---|---|
| 1 | 单立方体 monocube |
1 | 1 |
| 2 | 双立方体 dicube |
1 | 1 |
| 3 | 三连立方体 tricube |
2 | 2 |
| 4 | 四连立方体 tetracube |
8 | 7 |
| 5 | 五连立方体 pentacube |
29 | 23 |
| 6 | 六连立方体 hexacube |
166 | 112 |
| 7 | 七连立方体 heptacube |
1023 | 607 |
| 8 | 八连立方体 octocube |
6922 | 3811 |
多连立方体已被枚举到十六连立方体（n=16）[4]
多连立方体的对称性
[编辑]与多格骨牌一样，多连立方体也可以根据其对称性来进行分类。多连立方体对称性（非手性八面体群子群的共轭类）由W·F·伦农（W. F. Lunnon）在 1972 年首次列举。大多数多连立方体是不对称的，但许多具有更复杂的对称群，甚至存在有多达48个元素的立方体全对称群。其他种类的对称性也是有可能的，例如七种八重对称性的可能形式。[2]
五连立方体
[编辑]12个平面的五连立方体与五格骨牌相互对应。其余17个五连立方体中，5个具有镜像对称性，另外12个形成6组手性对。
五连立方体的包围盒可能的尺寸有5×1×1、4×2×1、3×3×1、3×2×1、4×2×2、3×2×2和2×2×2。[5]
八连立方体与超立方体展开图
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四维空间的超立方体是三维空间的立方体在四维空间的类比，由8个立方体组成，其可以像立方体展开成六连正方形那样展开为八连立方体。其中一个展开与立方体较知名的展开图——展开成拉丁十字的外形类似，他由四个立方体堆叠组成，另外四个立方体附着于四个堆叠立方体的第二个立方体露出的4个面上，形成一个三维空间双十字的样式。萨尔瓦多·达利将这种形状用于其1954的画作《耶稣受难》上[6]:72[7]，并在罗伯特·海莱因1940年的短篇小说《—且他建造了一座歪曲的房子—》中也有所描述。[8]为了纪念达利，这个八连立方体被称为达利十字。[9][10]这个八连立方体可以填充空间[9]。
更一般地说，在所有 3811 个不同的自由八连立方体中，有261个是四维超正方体的展开图。[9][11]
相关条目
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Weisstein, Eric W. (编). Polycube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-07-27]. （原始内容存档于2017-06-29） （英语）.
- ^ 2.0 2.1 Lunnon, W. F., Symmetry of Cubical and General Polyominoes, Read, Ronald C. (编), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press: 101–108, 1972, ISBN 978-1-48325-512-5
- ^ Polycubes, at The Poly Pages. recmath.org. [2022-08-12]. （原始内容存档于2021-07-25）.
- ^ Kevin Gong's enumeration of polycubes. [2022-08-12]. （原始内容存档于2013-09-04）.
- ^ Aarts, Ronald M. "Pentacube". From MathWorld. [2022-08-13]. （原始内容存档于2019-09-08）.
- ^ Theoni Pappas, 陈以鸿译. 《數學放輕鬆》. 台北县新店市: 世茂出版社. 2004. ISBN 9577766110.
- ^ Kemp, Martin, Dali's dimensions, Nature, 1 January 1998, 391 (27): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063
- ^ Fowler, David, Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction, World Literature Today, 2010, 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086,
Robert Heinlein's "And He Built a Crooked House," published in 1940, and Martin Gardner's "The No-Sided Professor," published in 1946, are among the first in science fiction to introduce readers to the Moebius band, the Klein bottle, and the hypercube (tesseract).
. - ^ 9.0 9.1 9.2 Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph, Hypercube unfoldings that tile and , 2015, Bibcode:2015arXiv151202086D, arXiv:1512.02086 .
- ^ Langerman, Stefan; Winslow, Andrew, Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion (PDF), 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016), 2016 [2022-08-12], （原始内容存档 (PDF)于2022-09-18）.
- ^ Turney, Peter, Unfolding the tesseract, Journal of Recreational Mathematics, 1984, 17 (1): 1–16, MR 0765344
