基尔霍夫电路定律

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古斯塔夫·基尔霍夫

基尔霍夫电路定律（Kirchhoff Circuit Laws）简称为基尔霍夫定律，指的是两条电路学定律，基尔霍夫电流定律与基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年，古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在，这定律被广泛地应用于电气工程学。

从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是，基尔霍夫并不是依循这条思路发展，而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

基尔霍夫电流定律

所有进入节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。对于本图案例，$i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}$ 。

基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律，表明：

所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。

或者，更详细描述，

假设进入某节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。

以方程表达，对于电路的任意节点，

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是第 $k$ 个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第 $k$ 个支路的电流，可以是实数或复数。

由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

导引

思考电路的某节点，跟这节点相连接有 $n$ 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流 $i$ 等于流过支路 $k$ 的电流 $i_{k}$ 的代数和：

$i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}$ 。

将这方程积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程：

$q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}$ ；

其中，$q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm {d} t'$ 是累积于这节点的总电荷，$q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm {d} t'$ 是流过支路 $k$ 的电荷，$t$ 是检验时间，$t'$ 是积分时间变数。

假设 $q>0$ ，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律， $q$ 是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以，$q=0$ 、$i=0$ ，基尔霍夫电流定律成立：

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0$ 。

含时电荷密度

从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流 $\mathbf {J} _{D}$ 纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（circuit analysis）时，电容器可以视为一个整体器件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说，取散度于麦克斯韦修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律：

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\epsilon _{0}\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ ；

其中，$\mathbf {J}$ 是电流密度，$\epsilon _{0}$ 是电常数，$\mathbf {E}$ 是电场，$\rho$ 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 $Q$ 的流失率：

$\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$ 。

基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 $\rho$ ，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

应用

以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（electronic circuit simulation）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律

沿着闭合回路所有器件两端的电压的代数和等于零。对于本图案例，$v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0$ 。

基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律，表明：

沿着闭合回路所有器件两端的电势差（电压）的代数和等于零。

或者，换句话说，

沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

以方程表达，对于电路的任意闭合回路，

$\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0$ ；

其中，$m$ 是这闭合回路的器件数目，$v_{k}$ 是器件两端的电压，可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

电场与电势

在静电学里，电势定义为电场的负线积分：

$\phi (\mathbf {r} ){\stackrel {def}{=}}-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!$ ；

其中，$\phi (\mathbf {r} )$ 是电势，$\mathbf {E}$ 是电场，$\mathbb {L}$ 是从参考位置到位置 $\mathbf {r}$ 的路径，$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ 是这路径的微小线元素。

那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为：

$\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =0$ ；

其中，$\mathbb {C}$ 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 $\mathbb {C}$ 的磁通量为常数，则这方程成立。

这方程指明，电场沿着闭合回路 $\mathbb {C}$ 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制

由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路 $\mathbb {C}$ 的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势 ${\mathcal {E}}$ 出现于闭合回路 $\mathbb {C}$ 。所以，电场沿着闭合回路 $\mathbb {C}$ 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 ${\mathcal {E}}_{k}$ 。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

频域

思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律

$\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm {Re} {\Big \{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big \}}=\mathrm {Re} {\Big \{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big \}}=0$ ；

其中，$i_{k}$ 是第 $k$ 个进入或离开这节点的电流，$I_{k}$ 是其振幅，$\theta _{k}$ 是其相位，$\omega$ 是角频率，$t$ 是时间。

对于任意时间，这方程成立。所以，设定相量 $\mathbb {I} _{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}$ ，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程表达，

$\sum _{k=1}^{n}\mathbb {I} _{k}=0$ 。

频域的基尔霍夫电流定律表明：

所有进入或离开节点的电流相量的代数和等于零。

这是节点分析的基础定律。

类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

沿着闭合回路所有器件两端的电压相量的代数和等于零。

以方程表达，

$\sum _{k=1}^{m}\mathbb {V} _{k}=0$ ；

其中，$\mathbb {V} _{k}$ 是闭合回路的器件两端的电压相量。

这是网目分析（mesh analysis）的基础定律。

参考

• Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0. 

外部链接

• 麻省理工学院电气工程系视听教学：基尔霍夫定律 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。
• 国立交通大学物理系视听教学：电子学。
• Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy