参数方程

用参数方程可以很容易表示出的蝶形线

参数方程（英语：Parametric equation）和函数相似，都是由一些在指定的集合的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$、$y$都是某个变数$t$的函数：

${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$

并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组确定的点$(x,y)$都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数$x$、$y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

例子

$x=a\cos(t),y=a\sin(t)$，表示了平面上半径为$a$、以原点为圆心的圆。在三维，加入$z=bt$，便是螺旋的图形。这些式子可以表示成：

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,$

如果有一个粒子，沿这个螺旋的路径而行，直接微分上面的式子便会得到粒子的速度：

$v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,$

及加速度：

$a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,$

参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数$(s,t)$或$(u,v)$的函数。

譬如一个圆柱：

$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos(u),a\sin(u),v)\,$

参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时，它的位置必然与时间有关系，也就是说，质的坐标$x$，$y$与时间$t$之间有函数关系$x=f(t)$，$y=g(t)$，这两个函数式中的变量$t$，相对于表示质点的几何位置的变量$x$，$y$来说，就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量，被抽象到数学中，就成了参数。我们所学的参数方程中的参数，其任务在于沟通变量$x$，$y$及一些常量之间的联系，为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量$x$，$y$间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难。

常见参数方程

${\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}$

圆形参数方程在$r=1$的情形。

• 直线：
  • 点斜式过$(x_{0},y_{0})$，斜率为$m$的直线: ${\begin{cases}x=x_{0}+t\\y=y_{0}+mt\end{cases}}$
  • 点向式过$(x_{0},y_{0})$, 方向向量为$(u,v)$的直线：${\begin{cases}x=x_{0}+ut\\y=y_{0}+vt\end{cases}}$
• 圆：${\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}$
• 椭圆：${\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}$
• 双曲线：${\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}$
• 抛物线：${\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}$
• 螺线：${\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}$
• 摆线：${\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}$

注：上文中的$a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_{0},y_{0},u,v$为已知数，$t$都为参数，$x$，$y$为变量

参见

• 隐方程
• 极坐标系