地球磁场 可以近似为一个磁偶极子的磁场。但是，图内的 N 和 S 符号分别标示地球的地理北极 和地理南极 。这标示法很容易引起困惑。实际而言，地球的磁偶极矩的方向，是从地球位于地理北极附近的地磁北极 ，指向位于地理南极附近的地磁南极 ；而磁偶极子的方向则是从指南极 指向指北极 。电极偶子的等值线图。等值曲面清楚地区分于图内。 在电磁学 里，有两种偶极子 （英语 ：Dipole）：
电偶极子 是两个分隔一段距离，电量 相等，正负相反的电荷 。磁偶极子 是一圈封闭循环的电流 。例如一个有常定电流 运行的线圈。偶极子的性质可以用它的偶极矩 描述。
电偶极矩（
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
右手法则 ，是大拇指从载流回路的平面指出的方向，而其它手指则指向电流运行方向，磁偶极矩的大小等于电流乘以线圈面积。
除了载流回路以外，电子 和许多基本粒子 都拥有磁偶极矩。它们都会产生磁场 ，与一个非常小的载流回路产生的磁场完全相同。但是，现时大多数的科学观点认为这个磁偶极矩是电子的自然性质，而非由载流回路生成。
永久磁铁 的磁偶极矩来自于电子内禀的磁偶极矩。长条形的永久磁铁称为条形磁铁，其两端称为指北极 和指南极 ，其磁偶极矩的方向是由指南极朝向指北极。这常规与地球的磁偶极矩恰巧相反：地球的磁偶极矩的方向是从地球的地磁北极 指向地磁南极 。地磁北极位于北极 附近，实际上是指南极，会吸引磁铁的指北极；而地磁南极位于南极 附近，实际上是指北极，会吸引磁铁的指南极。罗盘磁针的指北极会指向地磁北极；条形磁铁可以当作罗盘 使用，条形磁铁的指北极会指向地磁北极。
根据当前的观察结果，磁偶极子产生的机制只有两种，载流回路和量子力学 自旋 。科学家从未在实验里找到任何磁单极子 存在的证据。
分开有限距离的两个异性电荷的电场线 。 有限直径的载流循环的磁场线 。 任意点偶极子（电偶极子、磁偶极子、声偶极子等等）的场线。 一个物理电偶极子 是由两个等电量的异性点电荷构成的。在距离远超于两个点电荷相隔距离之处，物理电偶极子所产生的电场，可以近似为其电偶极矩所产生的电场。 令物理电偶极子的两个点电荷相隔距离趋向于 0 ，同时保持其电偶极矩不变，则极限就是点电偶极子 ，又称为纯电偶极子 。物理电偶极子产生的电场的多极展开式 中，一次项目就是点电偶极子产生的电场。物理电偶极子的电偶极矩
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
=
q
d
{\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }
其中，
q
{\displaystyle q}
d
{\displaystyle \mathbf {d} }
位移矢量 。
到现今为止，虽然还没有找到任何磁单极子 存在的证据，科学家可以在电子 和许多基本粒子 的物理行为中，找到以量子力学 的自旋 形式存在的磁偶极子。点磁偶极子 所产生的磁场的形态与点电偶极子所产生的电场的形态完全相同。非常小的载流回路可以近似为点磁偶极子。物理磁偶极子
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
m
=
I
a
{\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {a} }
其中，
I
{\displaystyle I}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
面积矢量 。
任何电荷或电流组态都具有偶极矩，其对应的偶极子所产生的矢量场，是那个组态在远距离的最好近似。偶极子项只是多极展开式中的一项。当单极矩等于 0 时（对磁案例而言，此情况永远成立，因为磁单极子不存在），在远距离
r
{\displaystyle r}
1
/
r
3
{\displaystyle 1/r^{3}}
1
/
r
2
{\displaystyle 1/r^{2}}
1
/
r
4
{\displaystyle 1/r^{4}}
n
{\displaystyle n}
1
/
r
(
n
+
1
)
{\displaystyle 1/r^{(n+1)}}
很多分子 都拥有电偶极矩。这是因为正负电荷的不均匀分布。例如，
（正价） H-Cl （负价） 拥有永久电偶极矩的分子称为极化分子 。假若一个分子带有感应电偶极子，则称此分子被极化 。彼得·德拜 是最先研究分子的电偶极子的物理化学家。为了纪念他的贡献，电偶极矩的测量单位被命名为德拜 。
分子的电偶极子又分为以下三种（参阅分子间作用力 ）：
永久电偶极子 ：假若一个分子内的几个原子的电荷分布不均，电负性 差异很大，则电负性较大的原子会吸引电子更接近自己，因而使得所占据区域变得更具负性；另外电负性较小的原子的区域会变得更具正性。这样，正、负电荷中心始终不重合，就形成了永久电偶极子。瞬时电偶极子 ：有时候，电子会恰巧地比较集中于分子内的某一个区域，这偶发状况会产生暂时的电偶极子。感应电偶极子 ：当施加外电场于一个分子时，感应这外电场的作用，分子内部正常的电子云 形状会被改变，因而产生电偶极子。其伴随的电偶极矩等于外电场和极化性 的乘积。常见的化学化合物在气态的电偶极矩，采用德拜 单位：[ 1]
这些数值可从相对电容率 的测量值计算求得。当分子因为对称性而使得浄电偶极矩被抵消，则设定电偶极矩为 0 。电偶极矩最大值在 10 到 11 这值域内。知道电偶极矩值，科学家可以推论分子的分子结构 。例如，数据显示出，二氧化碳是一个线性分子；而臭氧则不是。
球坐标
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
假设电偶极子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
电势
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
Φ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
p
⋅
r
^
r
2
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}
其中，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
真空电容率 。
这公式的右手边项目是任意静电势多极展开式 的第二个项目。假若这任意静电势是由纯电偶极子产生，则这项目是多极展开式的唯一不消失项目。
电偶极子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
∇
Φ
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})\end{aligned}}}
； 其中，
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
注意到这个方程并不完全正确，这是因为电偶极子的电势有一个奇点 在它所处的位置（原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
[ 2]
E
=
−
∇
Φ
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
； 其中，
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )}
狄拉克δ函数
从计算电偶极子所产生的电场的平均值，可以得到正确答案。设定以原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
b
{\displaystyle b}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
⟨
E
⟩
=
3
4
π
b
3
∫
V
E
d
3
r
=
3
4
π
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
r
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
注意到球坐标单位矢量与直角坐标单位矢量之间的关系：
r
^
=
x
^
sin
θ
cos
ϕ
+
y
^
sin
θ
sin
ϕ
+
z
^
cos
θ
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta }
θ
^
=
x
^
cos
θ
cos
ϕ
+
y
^
cos
θ
sin
ϕ
−
z
^
sin
θ
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\cos \theta \sin \phi -{\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta }
将这两个关系式代入前面积分式，可以得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
=
3
p
16
π
2
ϵ
0
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
1
r
3
{\displaystyle ={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r^{3}}}}
[
3
sin
θ
cos
θ
cos
ϕ
x
^
{\displaystyle [3\sin \theta \cos \theta \cos \phi {\hat {\mathbf {x} }}}
+
3
sin
θ
cos
θ
sin
ϕ
y
^
{\displaystyle +3\sin \theta \cos \theta \sin \phi {\hat {\mathbf {y} }}}
+
(
2
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
z
^
]
{\displaystyle +(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}]}
r
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
{\displaystyle r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
注意到这积分式的x-分量与y-分量都等于零，只剩下z-分量：
⟨
E
⟩
=
3
p
16
π
2
ϵ
0
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
1
r
(
2
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
z
^
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
=
3
p
z
^
8
π
ϵ
0
b
3
∫
0
b
1
r
d
r
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {E} \rangle &={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r}}(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r\\&={\frac {3p{\hat {\mathbf {z} }}}{8\pi \epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta \end{aligned}}}
。 对于径向坐标
r
{\displaystyle r}
∫
0
b
1
r
d
r
=
−
∞
{\displaystyle \int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r=-\infty }
但对于天顶角
θ
{\displaystyle \theta }
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
=
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =0}
由此可知，从这运算无法得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
奇点 在它所处的位置（原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
矢量恒等式
∮
S
ψ
d
S
=
∫
V
∇
ψ
d
V
{\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\psi \ \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathbb {V} }\nabla \psi \ \mathrm {d} V}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
⟨
E
⟩
=
3
4
π
b
3
∫
V
E
d
3
r
=
−
3
4
π
b
3
∫
V
∇
ϕ
d
3
r
=
−
3
4
π
b
3
∮
S
ϕ
d
S
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \phi \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\oint _{\mathbb {S} }\phi \ \mathrm {d} \mathbf {S} }
其中，
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
将电势
ϕ
{\displaystyle \phi }
d
S
=
r
^
b
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {r} }}\ b^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
⟨
E
⟩
=
−
3
(
4
π
)
2
b
ϵ
0
∮
S
[
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
|
b
r
^
−
r
′
|
d
3
r
′
]
r
^
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
其中，
ρ
(
r
′
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
电荷密度 ，
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
场位置与源位置之间距离的倒数 以球谐函数
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
多极展开 为
1
|
b
r
^
−
r
′
|
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
4
π
2
ℓ
+
1
r
′
ℓ
b
ℓ
+
1
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
,
r
′
<
b
{\displaystyle {\frac {1}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {r^{\prime \ell }}{b^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<b}
其中，
b
r
^
{\displaystyle b{\hat {\mathbf {r} }}}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
球坐标 分别为
(
b
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (b,\theta ,\phi )}
(
r
′
,
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}
单位矢量
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
r
^
=
x
^
sin
θ
cos
ϕ
+
y
^
sin
θ
sin
ϕ
+
z
^
cos
θ
=
x
^
[
−
2
π
3
(
−
Y
1
,
−
1
∗
+
Y
11
∗
)
]
+
y
^
[
−
2
π
3
(
−
Y
1
,
−
1
∗
−
Y
11
∗
)
]
+
z
^
4
π
3
Y
10
∗
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}}
。 应用球谐函数的正交归一性
∫
0
2
π
∫
0
π
Y
ℓ
′
m
′
∗
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
sin
θ
d
θ
d
ϕ
=
δ
ℓ
ℓ
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'}}
可以得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
⟨
E
⟩
=
−
1
4
π
b
3
ϵ
0
∫
V
′
r
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
−
p
4
π
b
3
ϵ
0
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {1}{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=-\ {\frac {\mathbf {p} }{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}}
也就是说，
∫
V
E
d
3
r
=
−
p
3
ϵ
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}}
为了满足这性质，必需对于电偶极子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
。 这样，在计算
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
假设磁偶极矩为
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
原点 ，则在任意位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
矢势
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
2
(
m
×
r
^
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}(\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }})}
其中，
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
磁常数 。
这磁偶极子所产生的磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
由于磁偶极子的矢势有一个奇点 在它所处的位置（原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
[ 2]
B
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
3
(
3
(
m
⋅
r
^
)
r
^
−
m
)
+
2
μ
0
m
3
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}\mathbf {m} }{3}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )}
任意磁场的多极展开式中，带头项目就是这公式右手边的第一个项目，偶极子项目。磁场没有单极子项目。在远距离，这公式近似任何类似磁偶极子的组态所产生的磁场。
偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级 分裂，因而形成了超精细结构 （hyperfine structure ）[ 3] 天文学 里，氢原子 的超精细结构给出了21公分谱线 ，在电磁辐射 的无线电波 范围，是除了3K背景辐射 以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元 （recombination ）至再电离纪元 （reionization ）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线 无线电波。
将一磁偶极子放在均匀磁场 ，或将电偶极子放在均匀电场 ，偶极子的两端会分别各产生一个力，两个大小相等而方向相反的力产生力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
τ
=
p
×
E
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }
τ
=
m
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }
力矩倾向将偶极子的方向与矢量场的方向排向同一方向，偶极子的势能 是
U
=
−
p
⋅
E
{\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }
U
=
−
m
⋅
B
{\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }
在计算时，我们常假设偶极子两端之间的距离是无穷小，即点偶极子 。
一个震荡电偶极子的电场的即时演化。 在静电学 和静磁学 之外，很重要的物理领域是含时偶极子。
当一个电偶极子在做谐振荡 时，其电偶极矩可以表示为
p
=
p
′
(
r
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}}
ω
{\displaystyle \omega }
角频率 。在真空 里，它产生的电场和磁场分别为
E
=
1
4
π
ε
0
{
ω
2
c
2
r
r
^
×
p
×
r
^
+
(
1
r
3
−
i
ω
c
r
2
)
[
3
r
^
(
r
^
⋅
p
)
−
p
]
}
e
i
ω
r
/
c
{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}}
B
=
ω
2
4
π
ε
0
c
3
r
^
×
p
(
1
−
c
i
ω
r
)
e
i
ω
r
/
c
r
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}}
在离开偶极子很远的位置（
r
ω
/
c
≫
1
{\displaystyle r\omega /c\gg 1}
球面波 ：
B
=
ω
2
4
π
ε
0
c
3
(
r
^
×
p
)
e
i
ω
r
/
c
r
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}}
E
=
c
B
×
r
^
{\displaystyle \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}}
经过时间平均，产生的总辐射功率
P
{\displaystyle P}
P
=
ω
4
12
π
ε
0
c
3
|
p
|
2
{\displaystyle P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}}
功率的分布并不具有均向性 ，而是集中于垂直于电偶极矩的方向。
试想一群粒子，数量为
N
{\displaystyle N}
电荷量 和位置分别为
q
i
{\displaystyle q_{i}}
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
i
=
1
,
2
,
…
,
N
{\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,N}
−
e
{\displaystyle -e}
e
Z
j
{\displaystyle eZ_{j}}
原子核 所构成；其中，
Z
j
{\displaystyle Z_{j}}
j
{\displaystyle j}
原子序 。这个群集的电偶极子的量子算符
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
p
=
∑
i
=
1
N
q
i
r
i
{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}}
^ Weast, Robert C. CRC Handbook of Chemistry and Physics 65rd ed. CRC Press. 1984. ISBN 0-8493-0465-2 ^ 2.0 2.1 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111145–150, 184–188, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-10-23 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2020-05-12）
![{\displaystyle +(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b67066bf3f622ce44567db4223f320d8d55386)
![{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c04a8ba0a8ae4407bf3e8b3933597c454f3ec2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da37f800888a7c0ffc7339d607f9aee829ff724c)
![{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ad1f0c20dbaee5c2469392d307662cf2726f5d)
