在电磁学里,电位移(Electric Displacement field)是出现于麦克斯韦方程组的一种矢量场,可以用来解释介电质内自由电荷所产生的效应。电位移
以方程定义为[1]
;
其中,
是电常数,
是电场,
是电极化强度。
高斯定律表明,电场的散度等于总电荷密度
除以电常数:
。
电极化强度的散度等于负束缚电荷密度
:
。
而总电荷密度等于束缚电荷密度加上自由电荷密度
:
。
所以,电位移的散度等于自由电荷密度
:
。
这与高斯定律的方程类似。假设,只给定自由电荷密度
,或许可以用高斯方法来计算电位移
。但是,在这里,不能使用这方法。只知道自由电荷密度
,有时候仍旧无法计算出电位移。思考以下关系式:
。
- 并根据法拉第感应定律:
, 其中
是磁场相对于时间的变化率
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} +\varepsilon _{0}{\dot {\mathbf {B} }}=\nabla \times \mathbf {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d00820031a3040fbc51ca1f26c19e06d3416156)
- 假设电磁场为不含时变电磁场(即与时间无关的电磁场),
,则
。
假若
,则虽然设定
,电位移仍旧不等于零:
!
举例而言,拥有固定电极化强度
的永电体,其内部不含有任何自由电荷,但是内在的电极化强度
会产生电场。
只有当问题本身具有某种对称性,像球对称性或圆柱对称性等等,才能够直接使用高斯方法,从自由电荷密度计算出电位移与电场。否则,必需将电极化强度
和边界条件纳入考量。
“线性电介质”,对于外电场的施加,会产生线性响应。例如,铁电材料是非线性电介质。假设线性电介质具有各向同性,则其电场与电极化强度的关系式为[2]
;
其中,
是电极化率。
将这关系式代入电位移的定义式,可以得到
;
其中,
是电容率。
所以,电位移与电场成正比;其比率是电容率。另外,
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \nabla\cdot(\varepsilon\mathbf{E})=\rho_{free}}
。
假设这电介质具有均匀性,则电容率
是常数:
。
定义相对电容率
为
。
相对电容率与电极化率有以下的关系:
。
要注意的一点是,上式
的描述只是一种近似关系,当
变得很大时,
与
就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为,这个式子就像胡克定律一样,只是一种近似。
各向异性线性电介质的电容率是个张量。例如,晶体的电容率通常必需用张量来表示。
平行板电容器的两片平板导体分别含有的正负自由电荷,会产生电位移。借着一个扁长方形盒子,可以用高斯定律来解释电位移与自由电荷的关系。
如右图所示,平行板电容器是由互相平行、以空间或电介质相隔的两片平板导体构成的电容器。假设上下两片平板导体分别含有负电荷与正电荷,含有的电荷量分别为
、
。又假设两片平板导体之间的间隔距离超小于平板的长度与宽度,则可以视这两片平板导体为无限平面;做简单计算时,不必顾虑边缘效应。由于系统的对称性,可以应用高斯定律来计算电位移,其方向必定是从带正电平板导体指向带负电平板导体,而且垂直于平板导体;又由于平板导体含有的电荷是自由电荷,不需要知道电介质的性质,就可以应用关于自由电荷的高斯定律来计算电位移。
先计算带正电平板导体所产生的电位移。试想一个扁长方形盒子,其顶面和底面分别在这平板导体的两边,平行于平板导体;而盒子的其它四个侧面都垂直于平板导体。根据关于自由电荷的高斯定律,
;
其中,
是扁长方形盒子的闭合表面,
是带正电平板导体所产生的电位移,
是微小面元素。
由于扁长方形盒子的四个侧面的面矢量都与
矢量相垂直,它们对于积分的贡献是零;只有盒子的顶面和底面对于积分有贡献:
;
其中,
是盒子顶面、底面的面积。
所以,
矢量的方向是从带正电平板导体垂直地向外指出,大小为
。
类似地,可以计算出带负电平板导体所产生的电位移;
矢量的方向是垂直地指向带负电平板导体,大小为
。
应用叠加原理,可以计算这两片带电平板导体一起产生的电位移。在这两片平板导体之间,
和
的方向相同;应用叠加原理,电位移的大小等于平板导体的表面电荷密度:
。在两片平板导体的共同上方或共同下方,
和
的方向相反;应用叠加原理,电位移的大小等于零。
假设电介质的电容率为
,则在两片平板导体之间,电场的大小为
。
假设两片平板导体的间隔距离为
,则电压
为
。
这平行板电容器的电容
为
。
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 175, 179–184, 1998, ISBN 0-13-805326-X
- ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 151–154, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1