二次函数

解析式：$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

在数学中，二次函数（英语：quadratic function）表示形为 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$（$a\neq 0\,\!$，且$a$、$b$、$c$是常数）的多项式函数，其中，$x$为自变量，$a$、$b$、$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于$y$轴的抛物线。

二次函数表达式$ax^{2}+bx+c$的定义是一个二次多项式，因为$x$的最高幂次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

历史

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

根

更多信息：二次方程和韦达定理

二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\,\!$ 的两个根为：$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$解方程后，我们会得到两个根：$x_{1}$和$x_{2}$。则点$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)$就是二次函数与$x$轴的交点。根的类型如下：

• 设$\Delta =b^{2}-4ac\,$为一元二次方程式的判别式，又记作D。
• 当$\Delta >0\,\!$，则方程有两个不相等的根，也即与$x$轴有两个不重叠的交点，因为${\sqrt {\Delta }}$是正数。
• 当$\Delta =0\,\!$，则方程有两个相等的根，也即与$x$轴有一个切点，因为${\sqrt {\Delta }}$是零。
• 当$\Delta <0\,\!$，则方程没有实数根，也即与 $x$ 轴没有交点，因为${\sqrt {\Delta }}$是共轭复数。

设$r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$和$r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$，我们可以把$ax^{2}+bx+c\,\!$因式分解为$a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$。

二次函数的形式

二次函数可以表示成以下三种形式：

• $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 称为一般形式或多项式形式。
• $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 称为因子形式或交点式，其中$r_{1}$和$r_{2}$是二次方程的两个根，$(r_{1},0)$,$(r_{2},0)$ 是抛物线与$x$轴的两个交点。
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ 称为标准形式或顶点形式，$(h,k)$即为此二次函数的顶点。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根$r_{1}$和$r_{2}$，或是利用十字交乘法（适用于有理数）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式变换成标准形式有特殊的方法。

$h$代表了二次函数的对称轴，因此两根的平均数即为$h$

• $k$展开后比较后可得 $k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}$

不通过$r_{1}$和$r_{2}$求$k$及$h$公式：

• $h=-{\frac {b}{2a}}$
• $k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ (也作$k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$)

而在三种形式中皆出现的$a$为此二次函数的领导系数，决定二次函数图像开口的大小与方向。

图像

$f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}$

• 系数$a$控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。$|a|$越大，开口越小，函数就增长得越快。
• 系数$b$和$a$控制了抛物线的对称轴（以及顶点的$x$坐标）。
• 系数$b$控制了抛物线穿过$y$轴时的倾斜度（导数）。
• 系数$c$控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与$y$轴的交点。

函数	图像			函数变化	对称轴	开口方向	最大（小）值
$y=ax^{2}$	$a>0$			当$x>0$时，$y$随$x$的增大而增大； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而增大	$y$轴 或$x=0$	向上	$0$
$y=ax^{2}$	$a<0$			当$x>0$时，$y$随$x$ 的增大而减小； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而减小	$y$轴 或$x=0$	向下	$0$
$y=ax^{2}+c$	$a>0$			当$x>0$时，$y$随$x$ 的增大而增大； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而增大	$y$轴 或$x=0$	向上	$c$
$y=ax^{2}+c$	$a<0$			当$x>0$时，$y$随$x$的增大而减小； 当$x<0$时，$y$随$x$ 的减小而减小	$y$ 轴 或 $x=0$	向下	$c$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a>0$			当$x>-{\frac {b}{2a}}$时，$y$ 随$x$的增大而增大； 当$x<-{\frac {b}{2a}}$时，$y$随$x$的减小而增大	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向上	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a<0$			当$x>-{\frac {b}{2a}}$时，$y$ 随$x$的增大而减小； 当$x<-{\frac {b}{2a}}$时，$y$随$x$的减小而减小	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向下	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

x 截距

当函数与$x$轴有两个交点时，设这两个交点分别为 $A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)$，由根与系数的关系得出：$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$和$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

${\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}$

顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为$(h,k)\,\!$。用配方法，可以把一般形式$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$化为：$$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$$

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：$$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$$如果二次函数是因子形式$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$，则两个根的平均数$${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$$就是顶点的$x$坐标，因此顶点位于$$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!$$$a<0\,\!$时，顶点也是最大值；$a>0\,\!$时，则是最小值。

经过顶点的竖直线$$x=h=-{\frac {b}{2a}}$$又称为抛物线的对称轴。

最大值和最小值

导数法

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$，寻找它的极值时，我们必须先求出它的导数：$$f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!$$然后，求出$f'(x)\,\!$的根：$$2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}$$因此，$-{\frac {b}{2a}}$是$f(x)\,\!$的$x\,\!$值。现在，为了求出$y\,\!$，我们把$x=-{\frac {b}{2a}}$代入 $f(x)\,\!$：$$y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}$$所以，最大值或最小值的坐标为：$$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$$

配方法

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}$

由于实数的二次方皆大于等于0，因此当$x=-{\frac {b}{2a}}$时，$f(x)$有最大或最小值${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$。

二次函数的平方根

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果$a>0\,\!$，则方程$y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线$y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果$a<0\,\!$，则方程$y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线$y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数

二元二次函数是以下形式的二次多项式：$$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$$这个函数描述了一个二次曲面。把$f(x,y)\,\!$设为零，则描述了曲面与平面$z=0\,\!$的交线，它是一条圆锥曲线。

最小值/最大值

如果$4AB-E^{2}<0\,$，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 $4AB-E^{2}>0\,$，则当$A>0$时函数具有最小值，当$A<0$具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 $(x_{m},y_{m})\,$ 取得，其中：$$x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}$$$$y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}$$如果$4AB-E^{2}=0\,$且$DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果$4AB-E^{2}=0\,$且$DE-2CB=2AD-CE=0\,$，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当$A>0$时取得最大值，$A<0$时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

参考资料

参考书目

• 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

参见

• 抛物线

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Quadratic. MathWorld.