提示:此条目的主题不是
值域。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/250px-Codomain2.SVG.png)
是一个将所有定义域
(红色区块)中的点
对应到点
的函数。搜集所有点
的集合(黄色区块)为函数
的值域,
(蓝色区块)为
的到达域。
到达域(英语:Codomain),或称为陪域、余定义域、上域、终域、共变域、目标集。
在数学领域中,一个函数的到达域指的是至少包含所有此函数的输出值的一个集合。在函数符号
中,
是函数
的到达域。
的值域是
的一个子集,若
是一个满射函数,则
的到达域和值域相等,反之则代表有
不存在于
的值域中,使得方程式
无解。
定义三个函数:
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeb78a600cb0677b3de08efefffda9860239f7e)
![{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+},\ g(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea25913e8657227e444cd698974189cb89f0ea8)
![{\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ h(x)={\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fefa70ebe375166304feecb1dc21efd4922312)
其中
。
- 因为
,函数
的输出值皆为非负数,所以
的值域为
,也就是
区间。又因
,即
的到达域不等于值域,所以
不是一个满射函数。
- 虽然
和
函数的输出值相同,但因为两者的到达域不同,因此不是相同的函数。
- 因为
的到达域不等于
的定义域,合成函数
为无效的函数。唯有合成符号右侧函数的到达域和左侧函数的定义域相同时,该合成函数才有效,例如
。
定义
为介于两个线性空间的线性变换:
![{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7935fb40936728600e35968ac1c5cabf193e53d)
也可以被表达成一个2×2的实数矩阵,代表一个从定义域
到到达域
的对应方式。
假设
![{\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd824d76013ee90e43938bb4b47c466cbfbd8e4)
则代表把所有定义域中的点
对应到到达域中的点
。由于
的值域只搜集了所有
的点,例如点
不在
的值域中,但在
的到达域
中,因此
不是一个满射函数。
在此例中,2×2的矩阵在秩(rank)等于2时,为满射函数,小于2时则非。到达域和值域是否相等可做为判断矩阵是否有满秩(full rank)的依据,因为
的值域小于到达域,所以
没有满秩。