Δ形电路和Y形电路
Y-Δ变换或称为星角变换,是一种把Y形电路转换成等效的Δ形电路,或把Δ形电路转换成等效的Y形电路的方法。它可以用来简化电路的分析。这一变换理论是由亚瑟·肯内利于1899年发表。[1]
设R1、R2、和R3分别是Y形电路中从N1、N2、N3到中点的阻抗,Ra、Rb、Rc分别是Δ形电路中N1与N3、N1与N2、N2与N3之间的阻抗。希望把Y形电路换成Δ形电路,或把Δ形电路换成Y形电路后,任意两个端点之间的阻抗仍然与原来的电路相等。
变换的基本思路是用
和
计算Y形电路端点的阻抗
,其中
和
是Δ形电路中对应节点到邻接节点间的阻抗:

其中
是Δ形电路的阻抗之和。具体公式如下:



口诀为 Y形阻抗 = Δ形同侧相邻阻抗乘积 / Δ形阻抗之和
变换的基本思路是计算Δ形电路的
:

其中
是Y形电路中的阻抗两两相乘之和,
是
所在支路对侧的端点在Y形电路中对应端点的阻抗。每一支路的阻抗计算公式为:



口诀为 Δ形阻抗 = Y形阻抗两两相乘之和 / Y形对侧端点阻抗
在图论中,Y-Δ变换表示将一个图的Y形子图用等价的Δ形子图代替。变换后的边数不变,但顶点数和回路数会变化。如果这两个图可以通过一系列的Y-Δ变换互相变换得到,那么就可以成这两个图Y-Δ等价。例如,佩特森图就是一个Y-Δ等价类。
要将Δ形负载{
}变换成Y形负载{
},需要比较二者对应节点的阻抗。要计算两种接法的阻抗,需要将电路中的一个节点断开。
Δ形电路中N3断开后,N1与N2间的阻抗为
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac6b58328c311ce9aa57cefcb4076ead0b04bc2)
将{
}之和用
表示以简化方程:

得到

Y形电路中N1与2的对应阻抗为

由以上两式得到:
(1)
同理,对于
与
,也分别有
(2)
(3)
由此,{
}的值可以由以上式子的线性组合(相加或相减)求出。
例如,将式(1)和式(3)相加,然后减去式(2)会得到


于是

其中
求出所有的阻抗值如下:
(4)
(5)
(6)
令
.
则Δ形电路到Y形电路的变换方程变为
(1)
(2)
(3)
将以上式子两两相乘得到
(4)
(5)
(6)
上式之和为
(7)
将右侧式子中的公因式
提出,约去分子中的
和分母中的一个
后得到

(8)
注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性,
将式(8)除以式(1)得到


得到
的表达式。同理,将式(8)除以
或
也能得到相应的表达式。
- William Stevenson,“Elements of Power System Analysis 3rd ed.”,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
- ^ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.