三角平方数是既是三角形数,又是平方数的数。三角平方数有无限个,可以由以下公式求得:
![{\displaystyle N_{k}={1 \over 32}\left[\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32513ccc3629ccbf0d7789f31c81b89f15edb127)
找寻三角平方数的问题可用以下方法简化成佩尔方程。每个平方数的形式为
,三角形数的则为
。于是求n, m使得:
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}=m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035743eb2d79a166709a18973c843bd8d2575f0b)
![{\displaystyle n(n-1)=2m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2f162785b6bdc2c75f065ae13f0540b2a56dd0)
![{\displaystyle n^{2}-n+{\frac {1}{4}}=2m^{2}+{\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550394c00672d59b50bff68afedb3cb35827beb3)
![{\displaystyle 4n^{2}-4n+1=8m^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5bbb9a50998218a164c583941cc97ceb75c5777)
![{\displaystyle (2n-1)^{2}=8m^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6496851c09ee4b052629ef4060d8f209d2b375)
设
,
,代入之,得方程
。
第
个三角平方数
等于第
个平方数及第
个三角形数,它们的关系为
![{\displaystyle s(N)={\sqrt {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950294e1bd4ef96135afd8c13a5b0a23a4eb7dc6)
![{\displaystyle t(N)=\lfloor {\sqrt {2N}}\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59373cfdb03a6b195d018d597562489f278e7f5)
可以由下面的方式得出:
![{\displaystyle t(N_{k})={1 \over 4}\left\{\left[\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{k}\right]^{2}-\left[1+(-1)^{k}\right]^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a224b3b5ca197ea6dfd3cbe80d7e211798b9ac)
亦可用递归的方式求得:
![{\displaystyle N_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56156e8c58ddc8fe8ecc77197f6c08719084d0f7)
![{\displaystyle N_{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9bd8b3a99ef09a46f581cd71a2e808acb1c85d)
![{\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15739c2ab7a03dd749f497b90de10eb4e54c76c5)
当
越大,
就会趋近
:
它们实际上是“为偶数的佩尔数”的一半再平方的值。
大卫·盖尔曾提出一条问题:求对于哪些n,使得1,2,3,4...,n这个数列中,存在一个数s,在s之前的数之和跟在s之后的数之和相等。例如1,2,3,...,8中,6就是这样的一个数,1+2+3+4+5=7+8
解答:
根据题意列方程,得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2
s2 = n(n+1)/2
当第n个三角形数是平方数时,就符合题目的条件。(参考:Puzzles Column of The Emissary (Fall2005))