双射

一个双射函数

数学中，一个由集合$X$映射至集合$Y$的函数，若对每一在$Y$内的$y$，存在唯一一个在$X$内的$x$与其对应，且对每一在$X$内的$x$，存在唯一一个在$Y$内的$y$与其对应，则此函数为双射函数。

换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则$f$是双射的。即，同时为单射和满射。

例如，由整数集合$\mathbb {Z}$至$\mathbb {Z}$的函数$\operatorname {succ}$，其将每一个整数$x$连结至整数$\operatorname {succ} (x)=x+1$，这是一个双射函数；再看一个例子，函数$\operatorname {sumdif}$，其将每一对实数$(x,y)$连结至$\operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)$，这也是个双射函数。

一双射函数亦简称为双射（英语：bijection）或置换。后者一般较常使用在$X=Y$时。以由$X$至$Y$的所有双射组成的集合标记为$X\leftrightarrow Y$。

双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数$f$为双射的当且仅当其逆关系$f^{-1}$也是个函数。在这情况，$f^{-1}$也会是双射函数。

两个双射函数$f:X\leftrightarrow Y$及$g:Y\leftrightarrow Z$的复合函数$g\circ f$亦为双射函数。其反函数为$(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$。

一个复合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若$g\circ f$为双射的，可知$f$是单射的且$g$是满射的，但也仅限于此。

一由$X$至$Y$的关系$f$为双射函数当且仅当存在另一由$Y$至$X$的关系$g$，使得$g\circ f$为$X$上的恒等函数，且$f\circ g$为$Y$上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

双射与势

若$X$和$Y$为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

例子与反例

• 对任一集合$X$，其恒等函数为双射函数。
• 函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，其形式为$f(x)=2x+1$，是双射的，因为对任一$y$，存在一唯一$x=(y-1)/2$使得$f(x)=y$。
• 指数函数$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，其形式为$g(x)=e^{x}$，不是双射的：因为不存在一$\mathbb {R}$内的$x$使得$g(x)=-1$，故$g$非为双射。但若其陪域改成正实数$\mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )$，则$g$便是双射的了；其反函数为自然对数函数$\ln$。
• 函数$h$ : $\mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$，其形式为$h(x)=x^{2}$，不是双射的：因为$h(-1)=h(1)=1$，故$h$非为双射。但如果把定义域也改成$[0,+\infty )$，则$h$便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
• $\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$不是双射函数，因为$-1,0$和$1$都在其定义域里且都映射至$0$。
• $\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$不是双射函数，因为$\pi /3$和2$\pi /3$都在其定义域里且都映射至${\sqrt {3}}/2$。

性质

• 一由实数$\mathbb {R}$至$\mathbb {R}$的函数$f$是双射的，当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
• 设$X$为一集合，则由$X$至其本身的双射函数，加上其复合函数“$\circ$”的运算，会形成一个群，即为$X$的对称群，其标记为${\mathfrak {S}}(X)$、${\mathfrak {S}}_{X}$或$X!$。
• 取一定义域的子集$A$及一陪域的子集$B$，则

$|f(A)|=|A|$且$|f^{-1}(B)|=|B|$。

• 若$X$和$Y$为具相同势的有限集合，且$f:X\to Y$，则下列三种说法是等价的：

1. $f$为一双射函数。
2. $f$为一满射函数。
3. $f$为一单射函数。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如$y=x^{-3}$）。

双射与范畴论

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

另见

• 等势
• 单射
• 同构
• 置换
• 对称群
• 满射
• 双射计数法
• 水平线测试

参考文献

• Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998. 
• Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003. 
• Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006. 
• Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996. 
• O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003. 
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
• Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002. 
• Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001. 
• Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005. 
• Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 1992. 
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
• Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004. 
• D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000. 
• Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 1989. 
• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
• Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000. 
• Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 1998. 

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）