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蝴蝶定理

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蝴蝶定理(Butterfly theorem),是古典歐氏平面幾何的最精彩的結果之一。蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題,這個命題最早出現在1815年,而「蝴蝶定理」這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1944年2月號,題目的幾何圖形象一隻蝴蝶,便以此命名。這個定理的證法多得不勝枚舉,至今仍然被數學熱愛者研究,在考試中時有出現各種變形。

最基本的敘述為:設M為圓內PQ的中點,過M作弦ABCD。設AD和BC各相交PQ於點XY,則MXY的中點。

這個命題最早作為一個征解問題出現在公元1815年英國的一本雜誌《男士日記》(Gentleman's Diary)39-40頁上。登出的當年,英國一個自學成才的中學數學教師W.G.霍納(他發明了多項式方程近似根的霍納法)給出了第一個證明,完全是初等的;另一個證明由理察·泰勒(Richard Taylor)給出。一種早期的證明由M.布蘭德(Miles Bland)在《幾何問題》(1827年)一書中給出。最為簡潔的證法是射影幾何的證法,由英國的J·開世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"(中譯:近世幾何學初編,李儼譯,上海商務印書館 1956 )給出,只有一句話,用的是線束的交比。1981年,Crux雜誌刊登了K.薩蒂亞納拉亞納(Kesirajn Satyanarayana)用解析幾何的一種比較簡單的方法(利用直線束,二次曲線束)。

該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況,有多種推廣:

  1. M,作為圓內弦是不必要的,可以移到圓外。
  2. 圓可以改為任意圓錐曲線
  3. 將圓變為一個完全四角形,M為對角線交點。
  4. 去掉中點的條件,結論變為一個一般關於有向線段的比例式,稱為「坎迪定理」, 不為中點時滿足: ,這對2,3均成立。

證明

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作垂線,設垂足分別為。類似地,從作垂線,設垂足分別為

證明蝴蝶定理

現在,由於

從這些等式,可以很容易看出:

由於 =

現在,

因此,我們得出結論: ,也就是說,的中點。

證畢。