幾何布朗運動

幾何布朗運動（英語：geometric Brownian motion, GBM），也叫做指數布朗運動（英語：exponential Brownian motion）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動，^[1]也稱維納過程。幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-休斯定價模型中模仿股票價格。

技術定義

A 隨機過程S_t在滿足以下隨機微分方程式 (SDE)的情況下被認為遵循幾何布朗運動：

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}

這裡 $W_{t}$ 是一個維納過程,或者說是布朗運動，而 $\mu$ ('百分比drift') 和 $\sigma$ ('百分比volatility')則是常數。

幾何布朗運動的特性

給定初始值 S₀，根據伊藤積分，上面的隨機微分方程式有如下解:

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),

對於任意值 t，這是一個對數常態分布隨機變數，其期望值和變異數分別是^[2]

\mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},

\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right),

也就是說S_t的機率密度函數是:

f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).

根據伊藤引理，這個解是正確的。

比如，考慮隨機過程 log(S_t). 這是一個有趣的過程，因為dlog(S_t)可以看成是股票在dt時間內的對數回報率。對f(S) = log(S)應用伊藤引理，得到

{\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f^{\prime }(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}

於是 $\mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ .

這個結果還有另一種方法獲得：applying the logarithm to the explicit solution of GBM:

{\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}

取期望值，獲得和上面同樣的結果: $\mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ .

在金融中的應用

幾何布朗運動在布萊克-休斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型。^[3]

使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:

幾何布朗運動的期望值與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望值是相符的。^[3]
幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。
幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的「roughness」。
幾何布朗運動過程計算相對簡單。.

然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在以下缺陷:

在真實股票價格中波動隨時間變化 (possibly stochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。
在真實股票價格中, 收益通常不服從常態分布 (真實股票收益有更高的肥尾 ('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價格波動).^[4]

幾何布朗運動推廣

參見

Brownian surface

參考資料

^ Ross, Sheldon M. 10.3.2. Introduction to Probability Models. 2007.
^ Oksendal, Bernt K., 随机Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer: 326, 2002, ISBN 3-540-63720-6
^ ^3.0 ^3.1 Hull, John. 12.3. Options, Futures, and other Derivatives 7. 2009.
^ Wilmott, Paul. 16.4. Paul Wilmott on Quantitative Finance 2. 2006.

連結

幾何布朗運動 models for stock movement except in rare events.

[1] Ross, Sheldon M. 10.3.2. Introduction to Probability Models. 2007.

[2] Oksendal, Bernt K., 随机Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer: 326, 2002, ISBN 3-540-63720-6

[Hull-3] 3.0 ^3.1 Hull, John. 12.3. Options, Futures, and other Derivatives 7. 2009.

[4] Wilmott, Paul. 16.4. Paul Wilmott on Quantitative Finance 2. 2006.

[1]

[2]

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[4]

閱論編機率論：隨機過程
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