克勞修斯-莫索提方程式

克勞修斯-莫索提方程式（Clausius-Mossotti equation）表達了線性介電質的極化性和相對電容率之間的關係，是因義大利物理學者莫索提（Ottaviano-Fabrizio Mossotti）和德國物理學者魯道夫·克勞修斯而命名。這方程式也可以更改為表達極化性和折射率之間的關係，此時稱為洛倫茲-洛倫茨方程式（Lorentz-Lorenz equation）。

極化性是一種微觀屬性，而相對電容率則是在介電質內部的一種巨觀屬性，所以，這方程式式連結了介電質關於電極化的微觀屬性與巨觀屬性。

導引

一個分子的極化性$\alpha$定義為

$\mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ \alpha \mathbf {E}$；

其中，$\mathbf {p}$是分子的感應電偶極矩，$\mathbf {E}$是作用於分子的電場。

介電質的電極化強度定義為總電偶極矩每單位面積：

$\mathbf {P} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\mathbf {p} _{j}(\mathbf {r} )$；

其中，$\mathbf {P}$是電極化強度，$\mathbf {r}$是檢驗位置，$N_{j}$、$\mathbf {p} _{j}$分別是分子$j$ 的數量每單位面積與電偶極矩。

總合介電質內每一種分子的貢獻，就可以計算出介電質的電極化強度。將極化性的定義式代入，可以得到

$\mathbf {P} (\mathbf {r} )=\sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\alpha _{j}\mathbf {E} (\mathbf {r} )$。

當計算這方程式時，必需先知道在分子位置的電場，稱為「局域電場」$\mathbf {E} _{local}$。介電質內部的微觀電場，從一個位置到另外位置，其變化可能會相當劇烈，在電子或質子附近，電場很大，距離稍微遠一點，電場呈平方反比減弱。所以，很難計算這麼複雜的電場的物理行為。幸運地是，對於大多數計算，並不需要這麼詳細的描述。所以，只要選擇一個足夠大的區域（例如，體積為$V'$、內中含有上千個分子的圓球體$\mathbb {V} '$）來計算微觀電場$\mathbf {E} _{micro}$的平均值，稱為「巨觀電場」$\mathbf {E} _{macro}$，就可以足夠準確地計算出巨觀物理行為：

$\mathbf {E} _{macro}={\frac {1}{V'}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {E} _{micro}\ \mathrm {d} ^{3}r'$。

對於稀薄介電質，分子與分子之間的距離相隔很遠，鄰近分子的貢獻很小，局域電場可以近似為巨觀電場　$\mathbf {E} _{macro}$：

$\mathbf {E} _{local}\approx \mathbf {E} _{macro}$。

但對於緻密介電質，分子與分子之間的距離相隔很近，鄰近分子的貢獻很大，必需將鄰近分子的貢獻$\mathbf {E} _{1}$納入考量：

$\mathbf {E} _{local}=\mathbf {E} _{macro}+\mathbf {E} _{1}$。

因為巨觀電場已經包括了電極化所產生的電場（稱為「去極化場」）$\mathbf {E} _{p}$，為了不重覆計算，在計算$\mathbf {E} _{1}$時，必需將鄰近分子的真實貢獻$\mathbf {E} _{near}$減掉去極化場：

$\mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{near}-\mathbf {E} _{p}$。

舉一個簡單案例，根據洛倫茲關係（Lorentz Relation），對於立方晶系結構的晶體或各向同性的介電質，由於高度的對稱性， $\mathbf {E} _{near}=0$。

現在思考以分子位置$\mathbf {r}$為圓心、體積為$V'$的圓球體$\mathbb {V} '$，感受到外電場的作用，$\mathbb {V} '$內部的束縛電荷會被電極化，從而產生電極化強度$\mathbf {P}$。假設在$\mathbb {V} '$內部的電極化強度$\mathbf {P}$相當均勻，則電極化強度$\mathbf {P}$與$\mathbb {V} '$的電偶極矩之間的關係為

$\mathbf {p} =\mathbf {P} V'$。

這線性均勻介電質圓球體內部的電場為

$\mathbf {E} _{p}=-{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}}$。

綜合前面得到的結果：

$\mathbf {P} =\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}-\mathbf {E} _{p})=\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}+{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}})$。

對於各向同性、線性、均勻的介電質，電極化率$\chi _{e}$定義為

$\mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} _{macro}$。

電極化率與極化性的關係為

${\frac {\chi _{e}}{\chi _{e}+3}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$。

由於相對電容率$\epsilon _{r}$與電極化率的關係為

$\epsilon _{r}=1+\chi _{e}$。

所以，電容率與極化性的關係為

${\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$。

這方程式就是克勞修斯-莫索提方程式。

電介質的折射率$n$為

$n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}$；

其中，$\mu _{r}$是相對磁導率。

對於大多數介電質，$\mu _{r}=1$，所以，折射率近似為$n\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}$ 。將折射率帶入克勞修斯-莫索提方程式，就可以給出洛倫茲-洛倫茨方程式：

${\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$。