inversion numbers （OEIS 數列A034968 ）, which have the same parity as the permutation.在數學 中，當X 是一個至少有兩個元素的有限集合 時，X 的置換 （即從X 到X 的雙射 ）可分為大小相同的兩類：奇置換 與偶置換 。如果X 固定了任何一個全序 ，X 的一個置換
σ
{\displaystyle \sigma }
可以定義為
σ
{\displaystyle \sigma }
X 中二元組
x
,
y
{\displaystyle x,y}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
σ
(
x
)
>
σ
(
y
)
{\displaystyle \sigma (x)>\sigma (y)}
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
σ
{\displaystyle \sigma }
x
{\displaystyle x}
一個置換
σ
{\displaystyle \sigma }
符號 （sign或signature ）記作sgn(σ) ：如果
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
{\displaystyle \sigma }
對稱群 S n 交錯特徵 。置換的符號另一個更一般的符號為列維-奇維塔符號 （
ϵ
σ
{\displaystyle \epsilon _{\sigma }}
X 到X 的所有映射上，而在非雙射映射上取值為0。
置換的符號可以清晰地表達為
sgn
(
σ
)
=
(
−
1
)
N
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{N(\sigma )}}
這裏
N
(
σ
)
{\displaystyle N(\sigma )}
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
{\displaystyle \sigma }
對換 分解定義為
sgn
(
σ
)
=
(
−
1
)
m
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m}}
這裏m 是分解中對換的個數。儘管這樣一個分解不是惟一的，所有分解中對換個數的奇偶性是相同的，蘊含着置換的符號是良定義 的。
考慮集合{1,2,3,4,5}的置換σ，它將初始排列12345變為34521。可以通過三個對換得到：首先交換1和3的位置，然後交換2和4，最後交換1和5。這證明了給定的置換σ是奇的。利用置換 一文中的記號，我們可寫成
σ
=
(
1
2
3
4
5
3
4
5
2
1
)
=
(
1
3
5
)
(
2
4
)
=
(
1
5
)
(
2
4
)
(
1
3
)
{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}}
有無窮種方式將σ寫成換位的複合 ，例如
σ
=
(
23
)
(
12
)
(
24
)
(
35
)
(
45
)
,
{\displaystyle \sigma =(23)(12)(24)(35)(45),\;}
但是不可能將其寫為偶數個換位的複合。
恆同置換是偶置換。一個偶置換可以由恆同置換通過偶數 次兩個元素互換（稱為對換 ）得到，而一個奇置換可由奇數次對換得到。
由整數加法相應的法則馬上得到下列性質：
兩個偶置換的複合是偶的
兩個奇置換的複合是偶的
一個奇置換與偶置換的複合是奇的 由此得到
考慮集合{1,...,n }的所有置換之對稱群 Sn ，我們可總結為映射
sgn
:
S
n
→
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle \operatorname {sgn} :S_{n}\to \{-1,1\}}
將每個置換映為其符號是一個群同態 。
進一步，我們見到偶置換組成Sn 的一個子群。這就是n 個字母上的交錯群 ，記作An 。它是符號同態的核 。奇置換不能組成一個子群，因為兩個奇置換的複合是偶置換，但它們是An （在Sn 中）的一個陪集 。
如果n >1，則Sn 中偶置換與奇置換一樣多；從而An 包含n !
一個輪換是偶的若且唯若它的長度是奇的。這得自如下類似公式
(a b c d e ) = (a e ) (b e ) (c e ) (d e ) 特別地，為了確定給定的置換是偶的還是奇的，將它寫成不交輪換的乘積。這個置換是奇的若且唯若這個分解包含奇數個偶長度的輪換。
每個奇數階 置換必須是偶的；反之一般不成立。
任意置換可以由一列對換產生：對第一個對換我們將置換的第一個元素放到它恰當的位置，第二個對換放第二個元素，等等。給定一個置換σ，我們可用無數種方式將其寫成對換之積。我們要證明所有這樣一個分解，要麼都有偶數個對換，要麼有奇數個對換。
假設我們有兩個這樣的分解：
σ = T'1 T'2 ... T'k'
σ = Q'1 Q'2 ... Q'm' 我們要證明k'與m'要麼都是偶的，要麼都是奇的。
每個對換可以寫成奇數個相鄰元素的對換之乘積，例如
(2 5) = (2 3)(3 4)(4 5)(4 3)(3 2) 如果我們將上面的T'1...T'k'與Q'1...Q'm'中每個對換作這樣的分解，我們得到一個新的分解：
σ = T1 T2 ... Tk
σ = Q1 Q2 ... Qm 這裏所有T 1...Tk Q 1...Qk 是相鄰對換，k − k '是偶數，m − m '是偶數。
現在將T1的逆與σ複合。T 1是兩個相鄰數 (i , i + 1)的對換，所以與σ相比，新置換σ(i , i + 1)恰好少一個（若 (i ,i + 1)是σ的反向對）或多一個反向對（若 (i ,i + 1)不是σ的反向對）。然後以相同的方法應用到T 2, T 3, ... Tk 的逆，「消解」了置換σ。最後我們得到了恆同置換，它的N 是零，這意味着首先的N (σ)減去k 是偶數。
對另一個置換Q 1...Qm 我們對同樣的事情，從而首先的N (σ)減去m是偶數
這樣m − k 是偶數，這就是我們要證明的。
現在我們可以定義置換σ是偶的，如果N (σ)是偶數；是奇的，如果N (σ)是奇數。這與首先給出的定義相同，但現在清晰地看到每個置換不是偶的就是奇的。
另一個證明利用多項式
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∏
i
<
j
(
x
i
−
x
j
)
.
{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j}).\;}
例如在n = 3的情形，我們有
P
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
x
1
−
x
2
)
(
x
2
−
x
3
)
(
x
1
−
x
3
)
.
{\displaystyle P(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3}).\;}
現在對{1,...,n }的一個給定置換σ，我們定義
sgn
(
σ
)
=
P
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
因為多項式
P
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
{\displaystyle P(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})}
sgn
(
σ
τ
)
=
P
(
x
σ
(
τ
(
1
)
)
,
…
,
x
σ
(
τ
(
n
)
)
)
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma \tau )={\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
=
P
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⋅
P
(
x
σ
(
τ
(
1
)
)
,
…
,
x
σ
(
τ
(
n
)
)
)
P
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
)
{\displaystyle ={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\cdot {\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}}}
=
sgn
(
σ
)
⋅
sgn
(
τ
)
{\displaystyle =\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \operatorname {sgn} (\tau )}
有此定義之後，顯然任何兩個相鄰元素的對換有符號−1，這樣我們事實上重新得到了早先定義的符號。
第三個證明利用群Sn 一個呈示 ，使用生成元為
τ
1
,
…
,
τ
n
−
1
{\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n-1}}
τ
i
2
=
1
{\displaystyle \tau _{i}^{2}=1}
i ，
τ
i
τ
i
+
1
τ
i
=
τ
i
+
1
τ
i
τ
i
+
1
{\displaystyle \tau _{i}\tau _{i+1}\tau _{i}=\tau _{i+1}\tau _{i}\tau _{i+1}}
i < n − 1，
τ
i
τ
j
=
τ
j
τ
i
{\displaystyle \tau _{i}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}}
i − j | ≥ 2。這裏生成元
τ
i
{\displaystyle \tau _{i}}
i , i + 1)。所有的關係將一個詞的長度保持或改變2。從一個偶數長詞開始使用這些關係後總得到偶數長詞，對奇數長詞也類似。從而可以毫無歧義地稱Sn 中由偶數長詞表示的元素是偶的，由奇數長詞表示的元素是奇的。
Permutations of 4 elements
