帕里斯法則

裂紋擴展速率與應力強度範圍的典型關係圖，其中帕里斯-埃爾多安方程可擬合區域B的中心線性區域。

帕里斯法則，也稱為帕里斯-埃爾多安方程，是一個裂紋擴展方程，可求得疲勞裂紋的擴展速率。 應力強度因子$K$代表裂紋尖端周圍的載荷，在一個荷載周期中，裂紋擴展速率實驗中表現為應力強度幅服的函數。 帕里斯方程為：

${\begin{aligned}{da \over dN}&=C\left(\Delta K\right)^{m},\end{aligned}}$

其中，$a$是裂紋長度，是載荷循環$N$中的疲勞裂紋擴展。材料系數和$C$和$m$的值通過實驗求得，兩者也取決於環境、頻率、溫度和應力比。

根據裂紋擴展速率${\rm {d}}a/{\rm {d}}N$與$\Delta K$之間的關係，疲勞在構件內積累，達到臨界值後，形成初始疲勞裂紋，初始疲勞裂紋在循環應力及環境的共同作用下逐步擴展，即發生亞臨界擴展。當裂紋達到臨界裂紋長度時發生快速擴展，以致斷裂。

已知應力強度因子幅服在各種不同條件下都裂紋擴展速率相關，也是在負載循環中最大和最小應力強度因子之間的差異，定義為：

$\Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}.$

作為循環載荷作用下的裂紋擴展速率與應力強度因子幅服之間的冪律關係，帕里斯-埃爾多安方程式可以在雙對數圖上可視化為一條直線，其中x軸表示應力強度因子範圍， y軸表示裂紋擴展速率。

$\Delta K$與裂紋擴展速率的關聯性，在很大程度上取決於引起裂紋擴展的交變應力與屈服強度相比起來很小這一事實。 因此，即使在像不銹鋼這樣延展性極強的材料中，裂紋尖端塑性區相對於裂紋長度也很小。

方程給出了單一週期的裂紋擴展。 對於恆幅負載，可以輕鬆計算單一循環。 但在變幅負載中等效出恆幅負載的循環則需要使用額外的例如雨流計數算法等循環識別技術。

歷史

P. C. 帕里斯在1961年的一篇論文中提出了裂紋擴展速率可能取決於應力強度因子的觀點。1963 年，帕里斯和埃爾多安在論文中對比了裂紋擴展與應力強度幅服的雙對數圖上的數據後，間接地提出了該方程，並在旁評論道：「作者們有些猶豫，但無法抵擋住透過資料繪製直線斜率為1/4的誘惑」。

適用範圍

應力比

較高的平均應力會增加裂紋擴展的速度，稱為平均應力效應。 一個週期的平均應力以應力比$R$表示：

$R={K_{\text{min}} \over K_{\text{max}}},$

或最小應力強度因子與最大應力強度因子之比。 在線彈性斷裂狀態下，$R$也相當於負載比

$R\equiv {P_{\text{min}} \over P_{\text{max}}}.$

儘管可以根據特定的應力比選擇方程系數，但帕里斯-埃爾多安方程式並未明確考慮應力比的影響。 其他裂紋擴展方程，如Forman方程則明確地包含了應力比的影響， Elber方程也透過模擬裂紋閉合的影響而包含了應力比的影響。

中等應力強度範圍

巴黎-艾爾段方程式適用於中等擴展率幅服，但不適用於非常低的擴展率幅服。$\Delta K$接近閾值或非常接近材料斷裂韌性的數值$K_{\text{Ic}}$  。 臨界極限下的交變應力強度定義為：

${\begin{aligned}\Delta K_{\text{cr}}&=(1-R)K_{\text{Ic}}\end{aligned}}$

$\Delta K_{\text{th}}$一個閾值，只有當ΔK大於它時，裂紋才會擴展。雙對數尺度上的裂紋擴展速率曲線的斜率所表示指數的值$m$通常位於2和4之間，對於高強度鋼等靜態斷裂韌性較低的材料來說，則$m$可達10 。

長裂縫

由於塑性區域的大小$(r_{\text{p}}\approx K_{I}^{2}/\sigma _{y}^{2})$，與裂紋長度相比較小，$a$（$\sigma _{y}$為屈服應力），採用小規模屈服近似，從而可以使用線彈性斷裂力學和應力強度因子。 因此，帕里斯-埃爾多安方程僅在線性彈性斷裂機制、拉伸載荷和長裂紋下有效。