矩陣乘法

「橫向的一條線（row）」的各地常用名稱
中國大陸	行
臺灣	列

「縱向的一條線（column）」的各地常用名稱
中國大陸	列
臺灣	行

數學中，矩陣乘法（英語：matrix multiplication）是一種根據兩個矩陣得到第三個矩陣的二元運算，第三個矩陣即前兩者的乘積，稱為矩陣積（英語：matrix product）。設$A$是$n\times m$的矩陣，$B$是$m\times p$的矩陣，則它們的矩陣積$AB$是$n\times p$的矩陣。$A$中每一行的$m$個元素都與$B$中對應列的$m$個元素對應相乘，這些乘積的和就是$AB$中的一個元素。

矩陣可以用來表示線性映射，矩陣積則可以用來表示線性映射的複合。因此，矩陣乘法是線性代數的基礎工具，不僅在數學中有大量應用，在應用數學、物理學、工程學等領域也有廣泛使用。

一般矩陣乘積

矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的行數（column，中國大陸作列數，台灣作行數）和第二個矩陣的列數（row，中國大陸作行數，台灣作列數）相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若$A$為$m\times n$矩陣，$B$為$n\times p$矩陣，則他們的乘積$AB$(有時記做$A\cdot B$）會是一個$m\times p$矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：

$(AB)_{ij}=\sum _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}$

以上是用矩陣單元的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解，運算結果相等：

由定義直接計算

左邊的圖表示出要如何計算$AB$的$(1,2)$和$(3,3)$元素，當$A$是個$4\times 2$矩陣和B是個$2\times 3$矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。

$(AB)_{1,2}=\sum _{r=1}^{2}a_{1,r}b_{r,2}=a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}$

$(AB)_{3,3}=\sum _{r=1}^{2}a_{3,r}b_{r,3}=a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}$

向量方法

這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把向量和各系數相乘後相加起來。設$\mathbf {A}$和$\mathbf {B}$是兩個給定如下的矩陣：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots \\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\dots \end{bmatrix}},$ $\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots \\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \end{bmatrix}}$

其中

$A_{1}$是由所有$a_{x,1}$元素所組成的向量(column)，$A_{2}$是由所有$a_{x,2}$元素所組成的向量，以此類推。

$B_{1}$是由所有$b_{1,x}$元素所組成的向量(row)，$B_{2}$是由所有$b_{2,x}$元素所組成的向量，以此類推。

則

$\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots \end{bmatrix}}+a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{2,1}&b_{2,2}&\dots \end{bmatrix}}+\cdots \\\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots \end{bmatrix}}+a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{2,1}&b_{2,2}&\dots \end{bmatrix}}+\cdots \\\vdots \end{bmatrix}}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\dots$

舉個例子來說：

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+0{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+2{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\-1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+3{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+1{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}-3&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}6&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}$

左面矩陣的列為為系數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。

向量表方法

一般矩陣乘積也可以想為是行向量和列向量的內積。若$\mathbf {A}$和$\mathbf {B}$為給定如下的矩陣：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots \\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\dots \\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}$且$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&b_{1,3}&\dots \\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}&\dots \\b_{3,1}&b_{3,2}&b_{3,3}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\dots \end{bmatrix}}$

其中，這裏

$A_{1}$是由所有$a_{1,x}$元素所組成的向量，$A_{2}$是由所有$a_{2,x}$元素所組成的向量，以此類推。

$B_{1}$是由所有$b_{x,1}$元素所組成的向量，$B_{2}$是由所有$b_{x,2}$元素所組成的向量，以此類推。

則

$\mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\dots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A_{1}\cdot B_{1})&(A_{1}\cdot B_{2})&(A_{1}\cdot B_{3})&\dots \\(A_{2}\cdot B_{1})&(A_{2}\cdot B_{2})&(A_{2}\cdot B_{3})&\dots \\(A_{3}\cdot B_{1})&(A_{3}\cdot B_{2})&(A_{3}\cdot B_{3})&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

即

$\left(\mathbf {AB} \right)_{ij}=A_{i}B_{j}$

性質

矩陣乘法是不可交換的（即$AB\neq BA$），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。

雖然矩陣乘法是不可交換的，但$AB$和$BA$的行列式總會是一樣的（當$A$、$B$是同樣大小的方陣時）。其解釋在行列式條目內。

當$A$、$B$可以被解釋為線性算子，其矩陣乘積$AB$會對應為兩個線性算子的複合函數，其中B先作用。

在試算表中做矩陣乘法

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}$

以 Google Sheet 為例，選取儲存格範圍或者使用陣列，在儲存格輸入

=MMULT({1,0,2;-1,3,1},{3,1;2,1;1,0})

在某些試算表軟件中必須必須按Ctrl+⇧ Shift+↵ Enter 將儲存格內的變量轉換為陣列

純量乘積

矩陣$A=(a_{ij})$和純量$r$的純量乘積$rA$的矩陣大小和$A$一樣，$rA$的各元素定義如下：

$(rA)_{ij}=r\cdot a_{ij}\$

若我們考慮於一個環的矩陣時，上述的乘積有時會稱做左乘積，而右乘積的則定義為

$(Ar)_{ij}=a_{ij}\cdot r\$

當環是可交換時，例如實數體或複數體，這兩個乘積是相同的。但無論如何，若環是不可交換的話，如四元數，他們可能會是不同的。例如，

$i{\begin{bmatrix}i&0\\0&j\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&k\\\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&j\\\end{bmatrix}}i$

阿達馬乘積

參見：阿達瑪乘積 (矩陣)

給定兩個相同維度的矩陣可計算有阿達馬乘積（Hadamard product），或稱做逐項乘積、分素乘積（element-wise product, entrywise product）。兩個$m\times n$矩陣$A$、$B$的阿達馬乘積標記為$A\circ B$，定義為 $(A\circ B)_{ij}=a_{ij}b_{ij}$的$m\times n$矩陣。例如，

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}0&0&2\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&3\cdot 0&2\cdot 2\\1\cdot 7&0\cdot 5&0\cdot 0\\1\cdot 2&2\cdot 1&2\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&4\\7&0&0\\2&2&2\end{bmatrix}}$

需注意的是，阿達馬乘積是克羅內克乘積的子矩陣。

克羅內克乘積

主條目：克羅內克乘積

給定任兩個矩陣$A$和$B$，可以得到兩個矩陣的直積，或稱為克羅內克乘積$A\otimes B$，其定義如下

${\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}$

當$A$是一$m\times n$矩陣和$B$是一$p\times r$矩陣時，$A\otimes B$會是一$mp\times nr$矩陣，而且此一乘積也是不可交換的。

舉個例子，

${\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&3\\2&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 3&2\cdot 0&2\cdot 3\\1\cdot 2&1\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 1\\3\cdot 0&3\cdot 3&1\cdot 0&1\cdot 3\\3\cdot 2&3\cdot 1&1\cdot 2&1\cdot 1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{bmatrix}}$

若$A$和$B$分別表示兩個線性算子$V_{1}\to W_{1}$和$V_{2}\to W_{2}$，$A\otimes B$便為其映射的張量乘積，$V_{1}\otimes V_{2}\to W_{1}\otimes W_{2}$

共同性質

上述三種乘積都符合結合律：

$A(BC)=(AB)C$

以及分配律：

$A(B+C)=AB+AC$

$(A+B)C=AC+BC$

而且和純量乘積相容：

$c(AB)=(cA)B$

$(Ac)B=A(cB)$

$(AB)c=A(Bc)$

注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換（即純量體為一可交換環）時會相同。

另見

• Strassen演算法（1969）
• Winograd演算法（1980）
• Coppersmith–Winograd演算法（1990）
• 邏輯矩陣
• 矩陣鏈乘積
• 逆矩陣
• 關係複合
• BLAS
• 矩陣加法
• 矩陣微積分

外部連結

• WIMS Online Matrix Multiplier （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Animated Matrix Multiplication Examples (purplemath) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

• Matrix Multipication in Javascript （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（works in Firefox）

參考

其它參考文獻包括：

• Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
• Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
• Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
• Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.